Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

9.3. Minimi quadrati non lineari
Per i = 1,...,n, la differenza b i = d i − δ i (x, y) è data da
b i = d i − δ i (x, y) = δ(x 0 , y 0 ) + ɛ i − δ i (x, y)
∂δ(x, y) ∂δ(x, y)
= δ(x, y) + (x 0 − x) + (y 0 − y) + ɛ i − δ i (x, y)
∂x
∂y
∂δ(x, y) ∂δ(x, y)
= (x 0 − x) + (y 0 − y) + ɛ i (9.1)
∂x
∂y
Le derivate parziali sono, per i = 1,...,n:
∂δ i (x, y)
∂x
∂δ i (x, y)
∂y
= ∂√ (x i − x) 2 + (y i − y) 2
∂x
= ∂√ (x i − x) 2 + (y i − y) 2
∂y
∣
(x i − x)
(x,y)=(x,y) = − √
(xi − x) 2 + (y i − y) = − (x i − x)
2 δ i (x, y)
∣
(y i − y)
(x,y)=(x,y) = − √
(xi − x) 2 + (y i − y) = − (y i − y)
2 δ i (x, y)
Consideriamo, ora, il vettore b = (b 1 ,b 2 ,...,b n ) T , il vettore ɛ = (ɛ 1 ,ɛ 2 ,...,ɛ n ) T e la matrice A di n righe e 2
colonne data da
⎛
∂δ 1 (x, y)
∂x
∂δ 2 (x, y)
A =
∂x
⎜ ...
⎝ ∂δ n (x, y)
∂x
⎞
∂δ 1 (x, y)
∂y
∂δ 2 (x, y)
∂y
⎟
∂δ n (x, y) ⎠
∂y
Dalla relazione (9.1), introducendo il vettore ξ = (x 0 − x, y 0 − y) T abbiamo
Aξ + ɛ = b
o, quivalentemente, ɛ = b − Aξ
Se andiamo a riprendere la funzione S(x 0 , y 0 ) da minimizzare, abbiamo S(x 0 , y 0 ) = ∑ n
i=1 ɛ2 . In termini
i
vettoriali, S si può anche scrivere come S = ɛ T ɛ, vale a dire come funzione del vettore ξ:
S(ξ) = (b − Aξ) T (b − Aξ)
Sviluppando abbiamo
S(ξ) = b T b − b T Aξ − ξ T A T b + ξ T A T Aξ
La quantità b T Aξ è scalare e, quindi, coincide con la sua trasposta, da cui b T Aξ = (b T Aξ) T = ξ T A T b. Perciò
S(ξ) = b T b − 2ξ T A T b + ξ T A T Aξ
Per trovare il minimo di S dobbiamo imporre uguale a zero la sua derivata rispetto al vettore ξ, vale a dire
rispetto a ciascuna componente di ξ. Poichè b T b è uno scalare che non dipende da ξ, la sua derivata vale zero;
quando deriviamo ξ T A T b, si ha A T b, mentre la derivata di ξ T A T Aξ vale 2ξ T A T A = 2(ξ T A T A) T = 2A T Aξ, da
cui 22 Per ricavare queste derivate consideriamo un vettore di dimensione m, y che è funzione di un altro vettore di dimensione n, x,
mediante la relazione y = ψ(x). Per definizione, la derivata ∂y è data dalla matrice che ha come elemento di posto (i , j ) la derivata
∂x
parziale ∂y i
(i = 1,...,m, j = 1,...,n).
∂x j
Data una matrice A, di dimensione m × n
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