Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

9. PROBLEMI NON LINEARI IN PIÙ VARIABILI
Il sistema GPS (Global Positioning System) è un metodo per determinare la posizione di distanze misurate
rispetto a punti dalle coordinate note. Questi punti dalle coordinate note sono i satelliti, che trasmettono un
segnale in direzione della terra.
Un ricevitore GPS può misurare il tempo richiesto da un segnale per propagarsi da un satellite GPS fino
al ricevitore stesso. Poichè il segnale viaggia alla velocità della luce, l’intervallo di tempo può essere convertito
in distanza moltiplicandolo per la velocità della luce stessa. In assenza di errori (quindi sincronizzazione
perfetta tra l’orologio presente nel ricevitore e quello nel satellite, mancanza di ionosfera e troposfera, che,
invece, rallentano l’arrivo del segnale, ...), una misura di questo tipo ci permette di avere informazioni sulla
posizione del ricevitore: esso deve trovarsi in qualche punto della sfera centrata nel satellite e con raggio
uguale alla distanza misurata. Chiamiamo questa distanza d 1 . Se, contemporaneamente, un secondo satellite
invia un segnale allo stesso ricevitore, allora il ricevitore deve trovarsi anche da qualche parte sulla sfera che
ha centro nel secondo satellite e raggio dato dalla distanza misurata, d 2 . Le due sfere, quindi, si intersecano e
sul cerchio generato dall’intersezione delle due sfere si troverà il nostro ricevitore. Un terza e simultanea misura,
d 3 , data da un terzo satellite, dà una terza sfera che interseca le altre due in soli due punti: uno di questi
punti può essere eliminato subito perchè non si trova sulla terra e rimane quindi un solo punto, che permette
di identificare la posizione del ricevitore. Quanto abbiamo appena detto vale in linea teorica, in condizioni
ideali. Infatti, in genere, l’orologio atomico presente nel ricevitore GPS e gli orologi presenti nei satelliti non
sono sincronizzati. Gli stessi orologi nei satelliti sono sincronizzati l’uno con l’altro con un certo errore che,
per quanto piccolo (un millisecondo) esiste. Gli intervalli di misura del ricevitore sono affetti, quindi, da errori
e, per questo motivo, sono chiamati pseudoranges. Un errore di tempo in termini di millisecondi può
dare un errore nella posizione di circa 300 chilometri e questo, chiaramente, è un errore troppo grande!
Le misure osservate, inoltre, sono affette da errori anche di altra natura, come gli effetti della ionosfera e
troposfera, l’errore di misura del ricevitore stesso, errori di orbita ... Perciò, date delle misure affette da errore,
dobbiamo cercare di capire le coordinate del ricevitore. Semplifichiamo il problema applicandolo allo spazio
R 2 .
Sono date delle misure d i tra un punto incognito P 0 di coordinate (x 0 , y 0 ) (il ricevitore) ed n punti noti
P i (x i , y i ) (i satelliti GPS). La distanza osservata è affetta da errore di misura ɛ i . Quindi abbiamo la relazione
tra distanza osservata, distanza esatta ed errore data da
√
d i = (x i − x 0 ) 2 + (y i − y 0 ) 2 + ɛ i , i = 1,2,...,n
Abbiamo n equazioni non lineari in due incognite (x 0 , y 0 ). Per risolvere questo problema si minimizza la
somma dei quadrati delle differenze tra il valore della distanza misurata e il valore della distanza esatta, vale
a dire
n∑ √
n∑
S(x 0 , y 0 ) = (d i − (x i − x 0 ) 2 + (y i − y 0 ) 2 ) 2 (= ɛ 2 i )
i=1
i=1
Questa funzione assomiglia alla funzione S(a 0 , a 1 ) che avevamo costruito per ottenere la retta di regressione
lineare ai minimi quadrati. Una differenza fondamentale, tuttavia, è che S(x 0 , y 0 ) è non lineare.
Andiamo allora a considerare la funzione δ i (x, y) = √ (x i − x) 2 + (y i − y) 2 , per i = 1,2,...,n. Osserviamo
che δ i (x 0 , y 0 ) = √ (x i − x 0 ) 2 + (y i − y 0 ) 2 : è la distanza esatta tra il punto P 0 e il punto P i , da cui d i = δ i (x 0 , y 0 )+
ɛ i .
Consideriamo un valore provvisorio noto di coordinate (x, y) vicino a (x 0 , y 0 ) in modo da poter linearizzare
la funzione δ i (x, y). Applichiamo la formula di Taylor di centro (x, y), trascurando i termini di ordine
superiore (rivediamo la formula di Taylor per funzioni vettoriali, applicandola però ad un’unica funzione che
dipende da due variabili). Si ha
136
δ i (x, y) = δ i (x, y) + ∂δ i (x, y)
∂x
Allora
δ i (x 0 , y 0 ) = δ i (x, y) + ∂δ i (x, y)
∂x
(x − x) + ∂δ i (x, y)
(y − y)
∂y
(x 0 − x) + ∂δ i (x, y)
(y 0 − y)
∂y