Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

9.3. Minimi quadrati non lineari
La convergenza è basata sul controllo della norma degli scarti tra due approssimazioni successive, vale a dire
sulla norma della direzione p (k) . Si può anche aggiungere un controllo sulla norma di f(x (k) ).
Esempio
Esempio 9.2.2 Riprendiamo l’esempio 9.2.1. La matrice jacobiana è data da
( )
18x1 8x 2
J(x) =
2x 1 −1
Se consideriamo x (0) = (0,0) T , la matrice jacobiana ha determinante uguale a zero, quindi non possiamo
applicare il metodo partendo da questo punto.
Partiamo invece da x (0) = (1,1) T : il metodo converge alla soluzione ξ 1 . Ecco i valori che troviamo, per
ogni iterazione, della norma euclidea di p (k) e di f(x (k) ) e delle componenti del vettore x (k) .
k p (k) ‖f(x (k) )‖ 2 x (k)
1
x (k)
2
0 2.000000e-10 2.302173e+01 1.0000000000000000 1.0000000000000000
1 1.228623e+00 1.022848e+01 1.9117647058823530 1.8235294117647058
2 2.729148e-01 6.073071e-01 1.6642652418726938 1.7085228106205075
3 1.924654e-02 3.326709e-03 1.6451607390354450 1.7061888752349927
4 1.112225e-04 1.120144e-07 1.6450495207124343 1.7061879132266946
5 3.759668e-09 7.108896e-15 1.6450495169527666 1.7061879132265310
6 2.633315e-16 0.000000e+00 1.6450495169527668 1.7061879132265312
Partiamo da x (0) = (−0.5,1) T , il metodo converge a ξ 2 , come possiamo vedere dai valori seguenti:
k p (k) ‖f(x (k) )‖ 2 x (k)
1
x (k)
2
0 2.000000e-10 2.980143e+01 -0.5000000000000000 1.0000000000000000
1 2.702083e+00 6.267123e+01 -3.0735294117647061 1.8235294117647058
2 1.102160e+00 1.093291e+01 -1.9773856415813829 1.7085228106205077
3 3.044172e-01 8.391335e-01 -1.6729773676003774 1.7061888752349932
4 2.769474e-02 6.945470e-03 -1.6452826237649281 1.7061879132266946
5 2.330903e-04 4.919889e-07 -1.6450495334662778 1.7061879132265312
6 1.651351e-08 0.000000e+00 -1.6450495169527668 1.7061879132265312
Si può dimostrare che, se in un intorno di una radice semplice x ∗ , la matrice Jacobiana J(x) ha inversa
limitata e le derivate continue, allora il metodo di Newton converge quadraticamente, cioè esiste una costante
M ∈ R tale che
‖x ∗ − x (k+1) ‖ ≤ M‖x ∗ − x (k) ‖ 2
in un intorno di x ∗ , quindi per ‖x ∗ − x (k) ‖ sufficientemente piccoli.
Nell’esempio che abbiamo visto, se, invece degli errori, consideriamo il vettore degli scarti (che, ricordiamo,
si identifica con la direzione p (k) ), ritroviamo la stessa relazione e riconosciamo convergenza
quadratica.
9.3 Minimi quadrati non lineari
Il problema dell’approssimazione ai minimi quadrati, che abbiamo visto brevemente al Capitolo 6, è molto
vasto e richiederebbe un approfondimento che non può essere fatto in un semplice corso di Calcolo Numerico.
Proprio per questo, ora affronteremo solo un aspetto dei minimi quadrati non lineari, applicandolo
direttamente al problema che vogliamo affrontare.
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