Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

9. PROBLEMI NON LINEARI IN PIÙ VARIABILI
Figura 9.2: Il vettore x (0) , visto come punto, la direzione data da p e il vettore x (0) + p, visto come punto.
si ottiene applicando la formula di Taylor di centro x (k) e secondo una direzione p scelta in questo modo: se
da x (k) volessimo arrivare in un solo passo alla soluzione esatta x ∗ , (dove vale f(x ∗ ) = 0), basterebbe scegliere
come direzione p la differenza tra x ∗ e x (k) : p = x ∗ − x (k) . In tal caso 0 = f(x ∗ ) = f(x (k) + p). Applicando la
formula di Taylor, avremmo
0 = f(x (k) + p) = f(x (k) ) + J(x (k) )p + termini di ordine superiore
Tuttavia, noi non conosciamo la soluzione esatta e quindi neanche sappiamo la direzione p da considerare.
Usiamo, però, la relazione precedente per definire una direzione p (k) che ci permetta di costruire la nuova
approssimazione x (k+1) . Trascurando i termini di ordine superiore e richiedendo
f(x (k) ) + J(x (k) )p (k) = 0
possiamo trovare la direzione p (k) in modo tale che la nuova approssimazione sia il vettore dato da x (k+1) =
x (k) + p (k) .
Il ragionamento che abbiamo fatto è stato molto simile a quello per il metodo di Newton-Raphson per
funzioni scalari. Solo che ora stiamo lavorando con vettori e per trovare la nuova direzione p (k) dobbiamo
risolvere un sistema (questa volta lineare perchè i coefficienti della matrice J sono valutati in un vettore
assegnato)
J(x (k) )p (k) = −f(x (k) )
Osserviamo subito che non è assicurato che la matrice Jacobiana sia sempre non singolare, per qualunque
scelta di x (k) (e quindi non è detto che possiamo sempre risolvere il sistema precedente). Tuttavia, nelle radici
della funzione e in un intorno di esse, il determinante è diverso da zero: ciò assicura che possiamo utilizzare
questo metodo localmente.
L’algoritmo di Newton per trovare le radici di sistemi non lineari diventa quindi
G Partire da un’approssimazione iniziale x (0)
G Per k = 0,1,2,... fino a convergenza
– Risolvere il sistema J(x (k) )p (k) = −f(x (k) )
– Porre la nuova approssimazione x (k+1) = x (k) + p (k)
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