Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

9.2. Metodo di Newton per sistemi di equazioni in più variabili
Figura 9.1: L’intersezione di un’ellisse e di una parabola.
Sia data, quindi, una funzione vettoriale f = (f 1 , f 2 ) T , dove f 1 e f 2 sono funzioni che dipendono dalle variabili
(x 1 , x 2 ), che possiamo scrivere come vettore x = (x 1 , x 2 ). Assumiamo che la funzione f abbia le derivate
continue e limitate almeno fino all’ordine 2. Allora, dati i vettori x (0) = (x (0)
1 , x(0) 2 ) e x = x(0) +p, dove p = (p 1 , p 2 )
è un vettore di direzione, la formula di Taylor di centro x (0) in x si può scrivere come
f(x (0) + p) = f(x (0) ) + J(x (0) )p + termini che dipendono da‖p‖ 2 .
dove ‖ · ‖ è una norma su vettori mentre J(x (0) ) è la cosiddetta matrice Jacobiana della funzione f in x (0) , i cui
elementi sono dati dalle derivate parziali prime delle componenti di f in x (0) :
⎛
J(x (0) ) = ⎜
⎝
∂f 1 (x (0)
1 , x(0) 2 )
∂f 1 (x (0)
∂x 1 ∂x 2
∂f 2 (x (0)
∂x 1
∂f 2 (x (0)
1 , x(0) 2 )
1 , x(0) 2 )
1 , x(0) 2 )
∂x 2
Componente per componente, la formula di Taylor diventa
f 1 (x (0)
1 + p 1, x (0)
2 + p 2) = f 1 (x (0)
1 , x(0) 2 ) + ∂f 1(x (0)
1 , x(0) 2 )
p 1 + ∂f 1(x (0)
∂x 1 ∂x 2
f 2 (x (0)
1 + p 1, x (0)
2 + p 2) = f 2 (x (0)
1 , x(0) 2 ) + ∂f 2(x (0)
1 , x(0) 2 )
p 1 + ∂f 2(x (0)
∂x 1 ∂x 2
⎞
⎟
⎠
1 , x(0) 2 )
1 , x(0) 2 )
p 2 + termini di ordine superiore
p 2 + termini di ordine superiore
Per capire la formula di Taylor in due dimensioni e, successivamente, il metodo di Newton, conviene
pensare al vettore x (0) come ad un punto dello spazio R 2 e a p come ad un vettore di direzione. Quando ci
muoviamo dal punto x (0) nella direzione data da p, arriviamo al punto x (0) + p (si veda figura 9.2).
A questo punto, possiamo ricavare il metodo di Newton. Come nel caso scalare, partiamo da un punto
iniziale (questo volta in R 2 ) x (0) e generiamo una successione di punti x (1) , x (2) , ..., x (k) , ... dove il valore x (k+1)
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