Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

9. PROBLEMI NON LINEARI IN PIÙ VARIABILI
G come usare il metodo di Newton-Raphson studiato per trovare gli zeri di una funzione se ora abbiamo
più funzioni e queste dipendono da più variabili
G come applicare la tecnica di approssimazione ai minimi quadrati su un problema più complicato della
retta di approssimazione, che abbiamo già visto
In questo capitolo, cercheremo di rispondere a queste due domande.
9.2 Metodo di Newton per sistemi di equazioni in più variabili
Consideriamo, per semplicità, un sistema di due equazioni in due incognite
{
f1 (x 1 , x 2 ) = 0
f 2 (x 1 , x 2 ) = 0
Questo stesso sistema si può scrivere in forma vettoriale come f(x) = 0 dove x = (x 1 , x 2 ) T e f(x) = (f 1 (x), f 2 )(x) T .
Esempio
Esempio 9.2.1 Consideriamo il sistema di equazioni in cui f 1 (x 1 , x 2 ) = 9x1 2 + 4x2 2 − 36 e f 2(x 1 , x 2 ) = x1 2 −
x 2 − 1. L’equazione f 1 (x 1 , x 2 ) = 0 rappresenta l’equazione di un’ellisse, mentre l’equazione f 2 (x 1 , x 2 ) =
0 descrive la parabola x 2 = x1 2 − 1 Dalla figura 9.1, si vede come la parabola e l’ellisse si intersecano
in due punti, ξ 1 e ξ 2 di coordinate date, in maniera approssimata, dai valori ξ 1 ≈ (1.65,1.71) e ξ 2 ≈
(−1.65,1.71). D’altra parte, abbiamo scelto questo esempio, perchè non è difficile trovare in maniera
analitica le radici del sistema
{
9x
2
1
+ 4x2 2 − 36 = 0
x 2 1 − x 2 − 1 = 0
Basta scrivere x 2 in funzione di x 1 nella seconda
√
equazione e sostituire nella prima. Si ricava facilmente
−1 + 513
che le soluzioni reali per x 1 sono date da x 1 = ±
= ±1.64504951695277, da cui x 2 = x1 2 8
− 1 =
1.70618791322653. Le radici del sistema corrispondono ai punti di intersezione delle due curve. Non
sempre, però, si riesce a trovare una soluzione analitica! Ed è per questo che ci serve un metodo per
trovarle numericamente.
Vediamo, quindi, come possiamo generalizzare il metodo di Newton-Raphson. Nel seguito assumiamo
che la funzione vettoriale f ammetta derivate parziali e che siano limitate almeno fino all’ordine due 1 .
Seguendo una strada del tutto analoga a quella percorsa per il metodo di Newton-Raphson per trovare le
radici di un’equazione (in una sola variabile), e come abbiamo fatto per i metodi iterativi per sistemi lineari,
cercheremo di costruire un metodo iterativo che, partendo da un vettore iniziale x (0) generi una successione
di vettori x (k) che converga alla soluzione x ∗ del nostro problema, che soddisfa, cioè, la relazione f(x ∗ ) =
0. Il caso che stiamo studiando, per semplicità, ha dimensione 2 (la funzione vettoriale e i vettori sono di
dimensione 2), ma il discorso vale anche per problemi non lineari di dimensione maggiore.
Quando abbiamo ricavato lo schema di Newton-Raphson per funzioni scalari, abbiamo utilizzato la formula
di Taylor. Ci serve, allora, l’analoga formula per funzioni vettoriali (ci limitiamo a considerare la formula
per il caso particolare che stiamo esaminando).
1 Ricordiamo che, data una funzione di due variabili f (x 1 , x 2 ) la derivata parziale di f rispetto alla variabile x 1 in un punto (x
1 ∗, x∗ 2 ),
che denotiamo come ∂f (x∗ 1 , x∗ 2 )
, altro non è che la derivata della funzione g (x 1 ) = f (x 1 , x
∂x 2 ∗) nel punto x∗ 1
(consideriamo fissata la
1
variabile x 2 = x
2 ∗ e facciamo variare solo la x 1). Allo stesso modo la derivata parziale della f rispetto alla variabile x 2 nel punto (x
1 ∗, x∗ 2 ),
che chiamiamo ∂f (x∗ 1 , x∗ 2 )
, è la derivata della funzione h(x 2 ) = f (x
∂x 1 ∗, x 2) nel punto x
2 ∗ . Nel caso di una funzione vettoriale come f =
2
(f 1 , f 2 ) l’ipotesi che chiediamo sia soddisfatta è che ciascuna delle funzioni di cui è composta, f 1 e f 2 , ammetta derivate parziali prime
e seconde e queste derivate siano continue e limitate.
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