Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

CAPITOLO 9
Problemi non lineari in più variabili
Ho affermato che le matematiche
sono molto utili per abituare la
mente a un raziocinio esatto e
ordinato; con ciò non è che io creda
necessario che tutti gli uomini
diventino dei matematici, ma
quando con questo studio hanno
acquisito il buon metodo di
ragionare, essi lo possono usare in
tutte le altri parti delle nostre
conoscenze.
John Locke
9.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9.2 Metodo di Newton per sistemi di equazioni in più variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
9.3 Minimi quadrati non lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
9.1 Introduzione
Diversi problemi che si incontrano nei più svariati campi dell’ingegneria sono molto più complicati degli
argomenti trattati fino ad ora. In questo capitolo cercheremo di utlizzare le conoscenze già fatte e di allargarle
per risolvere questo tipo di problemi.
G In ingegneria chimica, l’analisi dei processi chimici di separazione, di miscelazione e dei reattori chimici
(un esempio: la cattura di anidride carbonica con l’utilizzo di sorbenti solidi in un reattore di assorbimento)
si basa sulle equazioni di bilancio di materia e di energia totale, cioè la somma dell’energia
interna e dell’energia meccanica. Da un punto di vista matematico, questi bilanci sono rappresentati
da un sistema di equazioni alle derivate ordinarie, in cui la variabile indipendente è data dal tempo. In
condizioni di stazionarietà (eliminando quindi la dipendenza dal tempo), queste equazioni diventano
un sistema algebrico di equazioni non lineari in più variabili. Come risolverlo Una strada è utilizzare
il metodo di Newton per sistemi di più variabili. Ed è quello che faremo noi!
G In ingegneria aerospaziale, un problema molto attuale è legato alla misura della posizione di un punto
rispetto a un sistema di riferimento implicitamente definito dalle coordinate di un certo numero n di
punti noti (pensiamo al sistema GPS, basato su un certo numero di satelliti, per poter determinare la
posizione di un punto). Una tecnica utilizzata in questo ambiti è data dall’intersezione inversa e dai
minimi quadrati, che vengono applicati mediante una linearizzazione, come vedremo nel seguito.
Vediamo, dunque, che si tratta di allargare il campo delle conoscenze già fatte:
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