Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

8.7. Esercizi
(b)
Lo schema di Jacobi è:
⎧
x (k+1)
1
= 1 (30 − 2x(k)
2
− 6x (k)
3
8 )
⎪⎨
⎪⎩
3
= 1 2 1.0 1.55 0.65
(7 − x(k)
1
5 Partendo dal vettore x (0) con componenti
tutte nulle, abbiamo
k x 1 (k)
x 2 (k)
x 3 (k)
0 0 0 0
1 3.75 6.8 1.4
x (k+1)
2
= 1 (34 − 7x(k)
1
5 )
x (k+1)
Lo schema di Seidel è:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x (k+1)
1
= 1 (30 − 2x(k)
2
− 6x (k)
3
8 )
x (k+1)
2
= 1 (34 − 7x(k+1)
1
)
5
x (k+1)
3
= 1 5
(7 − x(k+1)
1
)
Partendo dal vettore x (0) con componenti
tutte nulle, abbiamo
k x (k)
1
x (k)
2
x (k)
3
0 0 0 0
1 3.75 1.55 0.65
2 2.875 2.775 0.825
Esercizio 8.7.2 ⎛ Dato⎞il sistema Ax = b con
5 0 10
A = ⎝0 3 15⎠
2 1 α
(a) dire per quali valori di α il metodo di Jacobi converge.
(b) trovare il valore di α in corrispondenza del quale il metodo SOR ha un valore di omega ottimo ω opt =
3/2. Per tale valore trovare la velocità asintotica di convergenza del metodo SOR.
Svolgimento
(a) La matrice dipende dal parametro α quindi a priori non possiamo dire se Jacobi converge o meno.
Scriviamo la matrice di iterazione del metodo di Jacobi come
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
⎞
1/5 0 0 0 0 10 0 0 −2
E J = −D −1 (L +U ) = −⎝
0 1/3 0 ⎠⎝0 0 15⎠ = ⎝ 0 0 −5⎠
0 0 1/α 2 1 0 −2/α −1/α 0
Gli autovalori si calcolano imponendo det(E J − µI ) = 0, vale a dire
−µ 0 −2
0 −µ −5
∣−2/α −1/α −µ ∣ = 0 vale a dire − µ3 + 9µ α = 0
Ricaviamo gli autovalori µ = 0 e µ = ± 3 α
.
Perchè ci sia convergenza deve dunque essere 3 α
< 1 ovvero 3 < α. Ricaviamo la relazione α > 9.
(b) Dalla relazione dell’ω opt , ω opt =
ordinata, si ha:
2
1 + √ , valida perchè la matrice è biciclica e coerentemente
1 − ρ(E J )
2
2
1 + 1 − 9/α = 3 2 =⇒ 1 3 = 1 − 9/α =⇒ −8
9 = − 9 α =⇒ α = 81 8 = 10.125
Da ω opt = 3 2 = 1.5 segue λ opt = ω opt − 1 = 0.5, da cui R = −log 10 (λ opt ) = 0.3010299957.
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