Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

8. METODI ITERATIVI PER LA SOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI
8.7 Esercizi
Esercizio 8.7.1
⎛
Sia dato
⎞
il sistema
⎛ ⎞
lineare Ax = b, dove
8 2 6 30
A = ⎝7 5 0⎠ b = ⎝34⎠
1 0 5 7
(a) Provare che gli schemi di Jacobi e di Seidel convergono e calcolare la velocità asintontica di
convergenza di entrambi gli schemi.
(b) A partire dallo stesso vettore iniziale x (0) = (0 0 0) T , calcolare le approssimazioni x (1) e x (2) che si
ottengono applicando lo schema di Jacobi e lo schema di Seidel.
Svolgimento
(a) La matrice A non è diagonalmente dominante nè per righe nè per colonne (vedasi la seconda riga e
la terza colonna). Non possiamo usare il criterio di matrice diagonalmente dominante per provare la
convergenza dei due metodi. La matrice
( )
A è biciclica e coerentemente ordinata (si veda lo schema a
5 0
croce che individua D 1 = (8) e D 2 = ):
0 5
8 2 6
7 5 0
1 0 5
Quindi se proviamo che lo schema di Jacobi converge, cioè che l’autovalore di massimo modulo della
matrice di Jacobi è reale e in modulo minore di 1, allora, poichè per matrici bicicliche e coerentemente
ordinate vale ρ(E J ) 2 = ρ(E S ), allora anche il metodo di Gauss-Seidel convergerà alla soluzione (da
ρ(E J ) < 1 segue ρ(E S ) < 1). La matrice di Jacobi è E J = I − D −1 A cioè
⎛
0 −2/8
⎞
−6/8
⎛
0 −1/4
⎞
−3/4
E J = ⎝−7/5 0 0 ⎠ = ⎝−7/5 0 0 ⎠
−1/5 0 0 −1/5 0 0
Troviamo gli autovalori della matrice E J imponendo det(E J − µI ) = 0.
−µ −1/4 −3/4
−7/5 −µ 0
∣−1/5 0 −µ ∣ = −µ3 + 3 4 · 1
5 µ + 1 4 · 7
5 µ = 0
Si ha: 0 = det(E J − µI ) = −µ 3 + ( 3
20 + 7
20 )µ,
Una radice è µ = 0, e le altre due sono µ = ± 1/2 = ± 0.5 = 0.707106781.
Gli autovalori sono tutti reali e quello di massimo modulo è µ = 0.707106781 < 1.
C’è, dunque, convergenza per i metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel (ρ(E S ) = ρ(E J ) 2 = 0.5). Le velocità
di convergenza valgono
R J = −log 10 (ρ(E J )) = 0.1505149
R S = −log 10 (ρ(E S )) = 0.301029995 = −log 10 (ρ(E J ) 2 ) = 2R J
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