Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

8.6. Metodi classici
Esempio
Esempio 8.6.1 La matrice tridiagonale
⎛
⎞
2 −1 0 0
A = ⎜−1 2 −1 0
⎟
⎝ 0 −1 2 −1⎠
0 0 −1 2
ha proprietà A (o è biciclica): permutando la prima e quarta riga e la prima e quarta colonna, mediante
⎛
⎞
0 0 0 1
la matrice di permutazione P = ⎜0 1 0 0
⎟
⎝0 0 1 0⎠ si ha
1 0 0 0
⎛
⎞
2 0 −1 0
( )
PAP T = ⎜ 0 2 −1 −1
⎟
2 0
⎝−1 −1 2 0 ⎠ =⇒ D 1 = D 2 =
0 2
0 −1 0 2
Possiamo scegliere S = {1,3} e T = {2,4}.
Definizione 8.6.2 Una matrice si dice coerentemente ordinata in relazione ad un vettore di ordinamento q, di
lunghezza n, se per ogni coefficiente a i j non nullo, con i ≠ j , si verifica:
G se j > i allora q j − q i = 1
G se j < i allora q j − q i = −1
Un’altra definizione di matrice con coerente ordinamento considera la matrice A data non dalla scomposizione
A = L + D +U che abbiamo visto fino ad ora ma come A = D(L A + I +U A ), (osserviamo che, rispetto
alla prima scomposizione, abbiamo messo in evidenza la matrice diagonale D e quindi le matrici triangolari
superiore e inferiore sono L A = D −1 L e U A = D −1 U ). Sia D non singolare. Allora la matrice A è detta
coerentemente ordinata se gli autovalori della matrice J(α) = αL A + α −1 U A , con α ≠ 0 sono indipendenti dal
parametro α.
( )
D1 A 1
Le matrici con proprietà A (o bicicliche) nella forma A =
(P = I nella definizione di proprietà
A 2 D 2
A) sono coerentemente ordinate.
Le matrici tridiagonali sono un esempio di matrici bicicliche e coerentemente ordinate.
Per il metodo di rilassamento si può provare il seguente risultato.
Teorema 8.6.3 (Young) Se A è una matrice con proprietà A e coerente ordinamento e 0 < ω < 2, allora:
G se µ è autovalore della matrice di iterazione di Jacobi E J , ogni λ che verifica la relazione (λ + ω − 1) 2 =
λω 2 µ 2 è autovalore di E ω ;
G se λ è autovalore non nullo di E ω , allora ogni µ che verifica la relazione precedente è autovalore di E J ;
G se gli autovalori di E J sono reali e il metodo di Jacobi converge (ρ(E J ) < 1), esiste uno ed uno solo ω opt
che rende ottimale il metodo di rilassamento, tale cioè che ρ(ω opt ) = min 0