Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

8. METODI ITERATIVI PER LA SOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI
G A è a diagonalmente dominante (per righe o per colonne) ed è irriducibile 5 .
Si ha inoltre, questo risultato:
G se A è simmetrica non singolare con elementi principali reali e positivi, allora il metodo di Gauss-Seidel
è convergente se e solo se A è definita positiva.
Per quanto riguarda il metodo di rilassamento, condizione necessaria per la convergenza è |ω − 1| < 1, cioè
ω deve appartenere all’intervallo [0,2] ( per 0 < ω < 1 si ha sotto-rilassamento e per 1 ≤ ω < 2 si ha sovrarilassamento).
Difatti il determinante della matrice di iterazione del metodo di rilassamento vale 6 detE ω = (1 − ω) n e,
poichè il prodotto degli autovalori di una matrice è uguale al determinante della matrice stessa, segue 7 la
relazione ρ(E ω ) ≥ |1 − ω|. Quindi, se |1 − ω| > 1, sicuramente il metodo di rilassamento non convergerà.
Perciò, condizione necessaria per la convergenza è |1 − ω| < 1.
Si ha questo importante teorema.
Teorema 8.6.2 (Ostrowski-Reich) Se A è definita positiva e ω è un numero reale nell’intervallo ]0,2[, allora il
metodo di rilassamento è convergente.
G La convergenza del metodo di rilassamento si ha, inoltre, per A simmetrica con elementi diagonali
positivi ed elementi extra-diagonali negativi o nulli, se e solo se A è definita positiva.
Un altro interessante teorema mette in relazione il metodo di rilassamento con i metodi di Jacobi e di Gauss-
Seidel, sia per quanto riguarda la convergenza, sia per quanto riguarda il valore ottimale del parametro ω, in
corrispondenza di matrici A che godono della cosidetta proprietà A e che siano coerentemente ordinate.
Definizione 8.6.1 Una matrice A, di dimensione n, si dice che ha proprietà A se esiste una matrice di
permutazione P tale che la matrice PAP T abbia la forma
( )
PAP T D1 A 1
=
A 2 D 2
dove D 1 e D 2 sono matrici diagonali.
Una matrice con proprietà A si dice biciclica.
Equivalentemente, una matrice A, di dimensione n, ha proprietà A se l’insieme dei numeri naturali
{1,2,...,n} può essere scomposto in due sottoinsiemi non vuoti e complementari 8 S e T in modo tale che
i coefficienti non nulli a i j ≠ 0 si hanno per i = j oppure per i ∈ S e j ∈ T oppure per i ∈ T e j ∈ S.
( )
5 P Q
cioè non può essere messa sotto la forma
R
6 Dalla definizione di E ω si ha detE ω = det[(D + ωL) −1 ((1 − ω)D − ωU )]. Poichè il determinante del prodotto di due matrici è uguale
al prodotto dei determinanti delle matrici stesse, si ha detE ω = det[(D + ωL) −1 ]det[(1 − ω)D − ωU )] = detD −1 (1 − ω) n detD. Si arriva
a questo risultato, tenendo presente il fatto che il determinante di una matrice triangolare è uguale al prodotto degli elementi della
diagonale principale.
7 Infatti, considerando λ i autovalore della matrice E ω , per i = 1,2,...,n e ρ(E ω ) il raggio spettrale, si ha detE ω = ∏ n
i=1 λ i ≤
∏ n
i=1 ρ(E ω) = ρ(E ω ) n da cui segue (1 − ω) n ≤ ρ(E ω ) n , cioè ρ(E ω ) ≥ |1 − ω|.
8 Due insiemi S e T non vuoti si dicono complementari di V = {1,2,...,n} se S ≠ , T ≠ , S ∪ T = V e, inoltre, se i ∈ S,i ∉ T e,
viceversa, se j ∈ T, j ∉ S
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