Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

8.6. Metodi classici
di convergenza e, quindi, preferibile rispetto al metodo senza rilassamento. Come metodo di rilassamento,
dunque, consideriamo il metodo di rilassamento ottenuto da Gauss-Seidel. Per scelte di ω nell’intervallo
]0,1[ si parla di metodo Sotto-Rilassato, o Under-Relaxation (e in genere è usato per ottenere convergenza
nella soluzione di sistemi che non convergono con il metodo di Gauss-Seidel). Per valori di ω nell’intervallo
[1,2[ si ha, invece, il metodo noto come metodo di sovra-rilassamento o SOR (Successive Over-Relaxation) –
usato per accelerare la convergenza in sistemi che sono convergenti con il metodo di Gauss-Seidel.
Lo schema di rilassamento, applicato al metodo di Gauss-Seidel, è dato da
x (k+1) = (1 − ω)x (k)
i
+ ω i−1 ∑
[b
i i −
a i i
j =1
a i j x (k+1)
j
−
n∑
j =i+1
a i j x (k)
j
]
per i = 1,...,n
La matrice di iterazione del metodo di rilassamento si ricava scrivendo in forma matriciale l’algoritmo
appena descritto
x (k+1) = (1 − ω)x (k) + ωD −1 ( b − Lx (k+1) −U x (k))
x (k+1) = [ (1 − ω)I − ωD −1 U ] x (k) − ωD −1 Lx (k+1) + ωD −1 b
(I + ωD −1 L)x (k+1) = [ (1 − ω)I − ωD −1 U ] x (k) + ωD −1 b
Moltiplicando ambo i membri per D, si ricava
La matrice di iterazione del metodo è dunque
E = (D + ωL) −1 [(1 − ω)D − ωU ]
= (D + ωL) −1 [(1 − ω)D − ω(A − D − L)]
= (D + ωL) −1 [(D + ωL) − ωA]
= [ I − ω(D + ωL) −1 A ]
(D + ωL)x (k+1) = [(1 − ω)D − ωU ] x (k) + ωb
A questo punto, ci si può chiedere quale sia l’ω ottimale nel metodo di rilassamento. L’ω ottimale è quello
che fa sì che il metodo di rilassamento converga nel minor numero di iterazioni (quindi, l’ω ottimale rende
minimo il raggio spettrale della matrice di iterazione). Vedremo, per particolari matrici A, quando è possibile
stabilire a priori quale sia l’ω ottimale per risolvere il sistema lineare Ax = b.
8.6.4 Convergenza dei metodi di Jacobi, Gauss-Seidel, rilassamento
Le matrici di iterazione dei tre metodi appena descritti sono scritte in Tabella 8.6.4 Perchè ci sia
metodo matrice
Jacobi E J = I − D −1 A = −D −1 (L +U )
Gauss-Seidel E S = I − (D + L) −1 A = −(D + L) −1 U
rilassamento E ω = I − ω(D + ωL) −1 A
Tabella 8.1: Matrici di iterazione dei metodi di Jacobi, Gauss-Seidel, rilassamento
convergenza, il raggio spettrale della matrice di iterazione deve essere minore di uno.
Per i metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel si può provare la convergenza del metodo, se la matrice A ha una
delle seguenti caratteristiche:
G A è diagonalmente dominante in senso stretto
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