Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

8. METODI ITERATIVI PER LA SOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI
[
x (k+1) = 1
i
a i i
i−1 ∑
b i −
j =1
a i j x (k+1)
j
−
n∑
j =i+1
a i j x (k)
j
]
per i = 1,...,n
Il metodo è detto anche degli spostamenti successivi, in quanto il calcolo delle componenti del vettore
x (k+1) è fatto utilizzando le componenti già calcolate del vettore stesso. Infatti, per i > 1, è ragionevole pensare
che i valori già calcolati x (k+1)
1
, x (k+1)
2
,..., x (k+1) possano essere utilizzati per dare una migliore approssimazione
del valore x (k+1) . Dalle equazioni del sistema, ragionando come per il metodo di Jacobi, possiamo quindi
i−1
i
scrivere:
(
)
a 11 x (k+1)
1
= b 1 − a 12 x (k)
2
+ a 13 x (k)
3
+ ... + a 1n x n
(k)
(
)
a 22 x (k+1)
2
= b 2 − a 21 x (k+1)
1
+ a 23 x (k)
3
+ ... + a 2n x n
(k)
. =
a i i x (k+1) = b
i
i −
. =
a nn x n
(k+1) = b n −
.
(
a i 1 x (k+1)
1
+ a i 2 x (k+1)
.
2
+ ... + a i i−1 x (k+1)
i−1
)
+ a i i+1 x (k)
i+1 + ... + a i n x n
(k)
(
a n1 x (k+1)
1
+ a n2 x (k+1)
2
+ a n3 x (k+1)
3
+ ... + a nn−1 x (k+1)
n−1
Dividendo ambo i membri dell’equazione i -sima per a i i (per i = 1,2,...,n) si ha:
x (k+1)
1
= 1 [ (
)]
b 1 − a 12 x (k)
2
+ a 13 x (k)
3
+ ... + a 1n x n
(k)
a 11
x (k+1)
2
= 1
a 22
[
b 2 −
. =
x (k+1)
i
= 1
a i i
[
b i −
. =
x (k+1)
n = 1
a nn
[
b n −
(
a 21 x (k+1)
1
+ a 23 x (k)
3
+ ... + a 2n x n
(k)
.
(
a i 1 x (k+1)
1
+ a i 2 x (k+1)
.
)]
2
+ ... a i i−1 x (k+1)
i−1
)]
+ a i i+1 x (k)
i+1 + ... + a i n x n
(k)
(
a n1 x (k+1)
1
+ a n2 x (k+1)
2
+ a n3 x (k+1)
3
+ ... + a nn−1 x (k+1)
n−1
Usando il residuo, lo schema di Gauss-Seidel si scrive come
x (k+1) = x (k) + (D + L) −1 r (k)
)
)]
Il metodo di rilassamento
Ciascuno dei metodi di Jacobi e Gauss-Seidel può essere anche rilassato tramite un fattore ω in modo che
la nuova approssimazione x (k+1) sia ottenuta come una combinazione di x (k+1) e x (k) mediante il fattore ω. In
pratica:
x (k+1) ←− (1 − ω)x (k) + ωx (k+1)
Questa operazione viene fatta direttamente nel momento in cui si stabilisce il metodo iterativo con
rilassamento.
Si può osservare che il metodo di Jacobi rilassato non produce effettivi miglioramenti rispetto al metodo
non rilassato. Invece, il metodo di Gauss-Seidel rilassato può produrre un metodo molto più veloce in termini
124