Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

8.6. Metodi classici
Se pensiamo di partire da un vettore inziale x (0) , il vettore x (1) si ottiene dalle equazioni precedenti, ponendo
a secondo membro di ciascuna equazione le componenti del vettore x (0) . Si ricava, in tal modo, la
formula ricorsiva dello schema di Jacobi:
x (k+1)
1
= 1 [ (
)]
b 1 − a 12 x (k)
2
+ a 13 x (k)
3
+ ... + a 1n x n
(k)
a 11
)]
x (k+1)
2
= 1
a 22
[
b 2 −
. =
x (k+1)
i
= 1
a i i
[
b i −
. =
x (k+1)
n = 1
a nn
[
b n −
(
a 21 x (k)
1
+ a 23 x (k)
3
+ ... + a 2n x n
(k)
.
(
a i 1 x (k)
1
+ a i 2 x (k)
2
+ ... + a i i−1 x (k)
i−1 + a i i+1x (k)
i+1 + ... + a i n x n
(k)
.
(
a n1 x (k)
1
+ a n2 x (k)
2
+ a n3 x (k)
3
+ ... + a nn−1 x (k)
n−1
Ritroviamo, dunque, la formula scritta prima in forma compatta.
La formula in funzione del residuo r (k) = b − Ax (k) è data invece da x (k+1) = x (k) + D −1 r (k) .
)]
)]
Il Metodo di Gauss-Seidel
Nell’algoritmo di Gauss-Seidel 4 si pone M = D + L ottenendo la matrice E S = I − (D + L) −1 A = I − (D +
L) −1 (L + D +U ) = −(D + L) −1 U . Lo schema iterativo è:
x (k+1) = E S x (k) + (D + L) −1 b
Lo schema di Gauss-Seidel si può ricavare a partire dal sistema lineare Ax = b nel modo seguente:
Ax = b
(L + D +U )x = b
si porta a secondo membro U x
(D + L)x = −U x + b
si moltiplicano ambo i membri per l’inversa della matrice (D + L)
x = −(D + L) −1 U x + (D + L) −1 b
si innesca il metodo iterativo considerando il vettore x a primo membro dell’equazione
all’iterazione k + 1 e quello a destra all’iterazione k
x (k+1) = −(D + L) −1 U x (k) + (D + L) −1 b
Moltiplicando ambo i membri per (D + L) si ha
da cui
(D + L)x (k+1) = b −U x (k)
Dx (k+1) = b − Lx (k+1) −U x (k)
x (k+1) = D −1 ( b − Lx (k+1) −U x (k))
Componente per componente si ha
4 Philipp Ludwig von Seidel (1821-1896) fu un matematico tedesco. Il suo lavoro più importante riguarda le aberrazioni ottiche.
123