Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

8. METODI ITERATIVI PER LA SOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI
Componente per componente, il metodo di Jacobi si scrive, per i = 1,2,...,n, come
⎡
⎤
x (k+1)
i
=
(D −1 ) i i
1
a i i
⇑
o, equivalentemente,
⎢
⎣ b i −
((L+U )x (k) ) i
n∑
j =1,j ≠i
⇑
a i j x (k)
⎥
j ⎦
x (k+1)
i
=
(D −1 ) i i
1
a i i
⇑
⎡
⎢
⎣ b i −
(Lx (k) ) i
i−1
∑
j =1
a i j x (k)
j
⇑
−
n∑
(U x (k) ) i
j =i+1
⇑
⎤
a i j x (k)
⎥
j ⎦
per i = 1,...,n
La formula la si può ricavare direttamente, scrivendo, equazione per equazione, il sistema da risolvere
Ax = b:
a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + ... + a 1n x n = b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + ... + a 2n x n = b 2
. = . . .
a i 1 x 1 + a i 2 x 2 + a i 3 x 3 + ... + a i n x n = b i
. = . . .
a n1 x 1 + a n2 x 2 + a n3 x 3 + ... + a nn x n = b n
Dalla prima equazione “isoliamo” la prima incognita rispetto a tutte le altre; dalla seconda equazione
“isoliamo” la seconda incognita e così via per le altre equazioni, ottenendo:
a 11 x 1 = b 1 − (a 12 x 2 + a 13 x 3 + ... + a 1n x n )
a 22 x 2 = b 2 − (a 21 x 1 + a 23 x 3 + ... + a 2n x n )
. =
.
a i i x i = b i − (a i 1 x 1 + a i 2 x 2 + ... + a i i−1 x i−1 + a i i+1 x i+1 + ... + a i n x n )
. =
.
a nn x n = b n − (a n1 x 1 + a n2 x 2 + a n3 x 3 + ... + a nn−1 x n−1 )
Dividendo l’i -sima equazione per il coefficiente a i i , per i = 1,2,...,n, ricaviamo
122
x 1 = 1
a 11
[b 1 − (a 12 x 2 + a 13 x 3 + ... + a 1n x n )]
x 2 = 1
a 22
[b 2 − (a 21 x 1 + a 23 x 3 + ... + a 2n x n )]
. =
.
x i = 1
a i i
[b i − (a i 1 x 1 + a i 2 x 2 + ... + a i i−1 x i−1 + a i i+1 x i+1 + ... + a i n x n )]
. =
.
x n = 1
a nn
[b n − (a n1 x 1 + a n2 x 2 + a n3 x 3 + ... + a nn−1 x n−1 )]