Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - UniversitÃ degli ...

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8. METODI ITERATIVI PER LA SOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI Scrivendo l’equazione (8.1) per l’iterazione k − 1 e facendo il rapporto tra le norme degli errori a due passi successivi si ha: ‖e (k) ‖ ‖e (k−1) ‖ ≈ ρ(E) Ricaviamo, quindi, che il metodo iterativo ha convergenza lineare con costante asintotica uguale al raggio spettrale della matrice di iterazione. La relazione appena trovata è utile per stabilire quanto veloce è il metodo iterativo per approssimare la soluzione del sistema con una certa accuratezza. Ad esempio, vogliamo stabilire a priori quante iterazioni occorrono per ridurre la norma dell’errore iniziale di un certo fattore, ad esempio 10 (il che vuol dire ridurre l’errore di un ordine di grandezza). Vogliamo dunque capire quale deve essere il valore di k per cui ‖e (k) ‖ = ‖e (0) ‖ 10 . Ma ‖e(k) ‖ ≈ ρ(E) k ‖e (0) ‖ da cui ρ(E) k ‖e (0) ‖ ≈ ‖e(0) ‖ 10 =⇒ ρ(E)k ≈ 1 10 Applicando il logaritmo in base 10 ad ambo i membri si ha 1 k log 10 (ρ(E)) ≈ −1 =⇒ k ≈ − log 10 (ρ(E)) Velocità asintotica di convergenza cioè occorrono k iterazioni con k dato dal più piccolo intero che soddisfa la relazione appena scritta. Meno iterazioni occorrono fare, più veloce è il metodo. Si definisce perciò velocità asintotica di convergenza R = −log 10 (ρ(E)) = −log 10 (ρ(E k )) k Osserviamo che, essendo ρ(E) < 1, nelle ipotesi in cui il metodo converge, log 10 (ρ(E)) < 0 e, di conseguenza, R > 0. Se vogliamo ridurre l’errore iniziale di una certa quantità ɛ, rifacendo i conti come prima, da una parte vogliamo che sia ‖e (k) ‖ ≤ ɛ‖e (0) ‖, dall’altra sappiamo che ‖e (k) ‖ ≈ ρ(E) k ‖e (0) ‖. Uguagliando i termini abbiamo ρ(E) k ‖e (0) ‖ ≤ ɛ‖e (0) ‖ =⇒ ρ(E) k ≤ ɛ Passando ai logaritmi (di quantità minori di uno) si ha k log 10 (ρ(E)) ≤ log 10 (ɛ) =⇒ −k log 10 (ρ(E)) ≥ −log 10 (ɛ) =⇒ k ≥ −log 10 (ɛ) R Troviamo in questo modo quante iterazioni (il primo intero k che verifica la relazione precedente) occorre fare per poter ridurre l’errore iniziale di ɛ. Se si traccia un grafico semilogaritmico del profilo di convergenza dello schema iterativo, ponendo sull’asse delle ascisse il numero delle iterazioni e sull’asse delle ordinate la norma dell’errore, si può vedere che la velocità asintotica di convergenza è legata alla pendenza della retta. Infatti, riconducendoci, per semplicità, al caso in cui la matrice di iterazione abbia n autovalori distinti tra loro e ordinati in senso crescente, dalla relazione (vista a pag. 119) e (k) ≈ λ k 1 α 1u (1) passando alle norme e ai logaritmi in base 10 si ha log 10 ‖e (k) ‖ ≈ k log 10 |λ 1 | + costante La pendenza del grafico è l’opposto della velocità asintotica di convergenza R. Nel caso in cui non è nota la soluzione esatta x, poichè ‖e (k) ‖ ≈ ‖x (k) − x (k−1) ‖ = ‖d (k) ‖ (valgono le stesse considerazioni viste per gli schemi iterativi per funzioni non lineari a pag. 52), ritroviamo lo stesso risultato sul profilo di convergenza semilogaritmico in cui si pone sull’asse delle ascisse il numero delle iterazioni e sull’asse delle ordinate la norma degli scarti. 120
8.6. Metodi classici Figura 8.3: La matrice A come somma delle matrici L, D e U . 8.6.3 I metodi Si scriva la matrice A come somma della matrice che ha i soli elementi diagonali di A (che chiamiamo D), della matrice costituita dai soli elementi della parte triangolare bassa di A (che chiamiamo L) e dai soli elementi della parte triangolare alta di A (che denotiamo con U ), A = L + D +U In questo modo è facile ricavare i metodi iterativi di Jacobi, Gauss-Seidel e di rilassamento, che sono i metodi iterativi classici per la soluzione di sistemi lineari. L’ipotesi da fare è che A abbia elementi diagonali diversi da zero (a i i ≠ 0 per i = 1,2,...,n,n, da cui la matrice diagonale D è invertibile). Se la matrice A è simmetrica, definita positiva, necessariamente a i i ≠ 0. Altrimenti, poichè A è non singolare (se così non fosse non potremmo risolvere il sistema), le equazioni del sistema possono essere riordinate in modo da avere la matrice risultante con elementi diagonali diversi da zero. Il metodo di Jacobi Il metodo di Jacobi 3 (o degli spostamenti simultanei - o rilassamento simultaneo) si ha ponendo M = D da cui la matrice di iterazione diventa E J = I − D −1 A = I − D −1 (L + D +U ) = −D −1 (L +U ). Scrivendo lo schema iterativo per Jacobi, si ha, in forma matriciale: x (k+1) = E J x (k) + D −1 b x (k+1) = −D −1 (L +U )x (k) + D −1 b Per ricavare questo schema, si può partire dal sistema lineare Ax = b e scrivere la matrice A come L+D+U . Si ha (L + D +U )x = b si porta a secondo membro (L +U )x Dx = −(L +U )x + b si moltiplicano ambo i membri per l’inversa della matrice D x = −D −1 (L +U )x + D −1 b si innesca il metodo iterativo considerando il vettore x a primo membro dell’equazione all’iterazione k + 1 e quello a destra all’iterazione k x (k+1) = −D −1 (L +U )x (k) + D −1 b 3 Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851) fu un grande matematico tedesco. Tra i suoi numerosi studi ricordiamo quelli sulle funzioni ellittiche, sulla teoria dei numeri e sulla meccanica celeste. 121
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Annamaria Mazzia Appunti di Calcolo
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CAPITOLO 2 Richiami di analisi La t
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2.5. Teoremi utili f f f ′ f f
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Bibliografia [1] ASCHER, U. M. e GR
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