Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

8.6. Metodi classici
e (k) = Ee (k−1)
e (k−1) = Ee (k−2)
e (k−2) = Ee (k−3)
. = . . .
e (2) = Ee (1)
e (1) = Ee (0)
Partendo, ora, dalla prima relazione e, andando a sostituire, ogni volta, a secondo membro, la relazione
successiva, si ha:
e (k) = Ee (k−1) = E(Ee (k−2) ) = E 2 e (k−2) = E 2 (Ee (k−3) ) = E 3 e (k−3) = ... = E k e (0)
Osserviamo che E k rappresenta la potenza k della matrice E, cioè la E · E ···E k volte.
Il metodo converge se e (k) → 0 per k → ∞. Poichè l’errore iniziale è arbitrario, si ha che lim k→∞ e (k) =
lim k→∞ E k e (0) = 0 se e solo se lim k→∞ E k = 0.
Per il teorema sulla convergenza di matrici (si veda pag. 117), questo si ha se e solo se ρ(E) < 1. Si può
dunque stabilire il seguente teorema.
Teorema 8.6.1 Lo schema iterativo
x (k+1) = Ex (k) + q k ≥ 0
converge qualunque sia il vettore iniziale x 0 al vettore x = Ex + q = A −1 b se e solo se ρ(E) < 1.
Questo risultato lo si può provare facilmente, nel caso in cui la matrice di iterazione E abbia n autovalori
distinti e, quindi, possieda n autovettori linearmente indipendenti, per cui l’errore iniziale e (0) si può scrivere
come e (0) = α 1 u (1) + α 2 u (2) + ... + α n u (n) , dove α 1 ,α 2 ,...,α n sono delle costanti, mentre u (1) , u (2) ...u (n) sono
gli autovettori associati, rispettivamente, a λ 1 , λ 2 ,...,λ n . Supponiamo che gli autovalori siano in ordine decrescente
in modulo, cioè: |λ 1 | > |λ 2 | > ... > |λ n |, per cui ρ(E) = |λ 1 |. In tal caso si può scrivere (ricordando
che, se λ è un autovalore associato alla matrice A, con u un autovettore ad esso associato, si ha A k u = λ k u)
e (k) = E k e (0) = E k (α 1 u (1) + α 2 u (2) + ... + α n u (n) )
= α 1 E k u (1) + α 2 E k u (2) + ... + α n E k u (n)
= α 1 λ k 1 u(1) + α 2 λ k 2 u(2) + ... + α n λ k n u(n)
mettiamo in evidenza λ k 1
(
= λ k 1
α 1 u (1) + α 2
λ k 2
λ k 1
)
u (2) λ k n
+ ... + α n
λ k u (n)
1
per k → ∞ si ha λk i
λ k → 0 per i = 2,3,...,n
1
≈ λ k 1 α 1u (1)
Perciò lim k→∞ e (k) = lim k→∞ λ k 1 α 1u (1) = 0 se e solo se λ k 1 → 0 e questo si ha se e solo se |λ 1| < 1. Ma |λ 1 | = ρ(E):
ritroviamo il risultato visto prima.
8.6.2 Controllo della convergenza
Oltre a sapere che lo schema iterativo converge, è importante conoscere quanto velocemente lo schema
converge. A tal proposito osserviamo che, in condizioni asintotiche (per k → +∞) vale il seguente risultato 2
‖e (k) ‖ ≈ ρ(E) k ‖e (0) ‖ (8.1)
2 Questa relazione vale anche per matrici con autovalori non distinti tra loro.
119