Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

8. METODI ITERATIVI PER LA SOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI
8.6 Metodi classici
I metodi iterativi classici per la risoluzione di un sistema di equazioni lineari del tipo Ax = b si basano su
un’idea molto semplice.
G Si parte da un’approssimazione iniziale x (0) , commettendo un’errore e (0) = x − x (0) . L’errore e (0) è soluzione
del sistema Ae (0) = b − Ax (0) = r (0) , dove r (0) è il residuo (ciò che resta fuori, ci dice di quanto il
vettore Ax (0) si discosta da b).
G Successivamente si definisce il passo x (1) come x (1) = x (0) + p (0) , dove ora p (0) è soluzione del sistema
Mp (0) = r 0 , in cui la matrice M è più semplice della A e, allo stesso tempo, M −1 approssima in qualche
modo A −1 .
G Il procedimento viene iterato fino a convergenza.
Da queste richieste tra loro contradditorie, si sviluppa una strategia che porta alla soluzione esatta x come
limite della successione dei valori approssimati x (k) .
Il processo iterativo si legge, infatti, come:
x (k+1) = x (k) + M −1 (b − Ax (k) ) k = 0,1,....
O, equivalentemente,
x (k+1) = (I − M −1 A)x (k) + M −1 b k = 0,1,...
Notiamo che, ad ogni passo, non dobbiamo calcolare esplicitamente M −1 , perchè risolviamo problemi del
tipo Mp (k) = r (k) = b − Ax (k) in modo da porre x (k+1) = x (k) + p (k) . La matrice E = I − M −1 A è detta matrice di
iterazione del metodo. Nel seguito, per semplicità, poniamo q = M −1 b.
Lo schema iterativo appena descritto è un metodo stazionario (cioè non dipende dall’iterazione k) e
può essere visto come caso particolare di uno schema di punto fisso per equazioni nonlineari: la funzione
g tale che x (k+1) = g (x (k) ) converga alla soluzione del sistema Ax = b, è data da g (x) = x + M −1 (b − Ax) o
equivalentemente da g (x) = Ex (k) + q.
8.6.1 Convergenza
Per studiare la convergenza di un metodo iterativo, consideriamo, per ogni vettore x (k) , il residuo r (k) =
b − Ax (k) e l’errore e (k) = x − x (k) . Osserviamo che si ha la relazione r (k) = Ae (k) . Infatti
Ae (k) = A(x − x (k) ) = Ax − Ax (k) = b − Ax (k) = r (k)
Lo schema converge quando la successione x (k) converge alla soluzione x per k → ∞, ovvero quando
lim k→∞ e (k) = 0 qualunque sia il vettore iniziale x (0) .
Consideriamo lo schema iterativo x (k+1) = Ex (k) + q.
È facile vedere che per la soluzione esatta x vale la relazione x = Ex + q.
Consideriamo x − x (k) . Si ha
x = Ex + q
x (k) = Ex k−1 + q
e sottraendo si ricava
e (k) = Ee (k−1)
La relazione appena trovata vale, alla stessa maniera, tra l’errore e (k−1) e l’errore e (k−2) per cui possiamo
scrivere e (k−1) = Ee (k−2) .
Scriviamo queste relazioni dall’iterazione k fino ad arrivare all’iterazione 0.
118