Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

8.5. Autovalori e autovettori
Figura 8.2: Autovalori e autovettori
G Gli autovalori di una matrice A e della sua trasposta A T sono gli stessi (ma gli autovettori sono, in
genere, diversi).
G Se A e B sono due matrici arbitrarie regolari, allora gli autovalori di AB sono gli stessi di B A.
Se x è un autovettore associato alla matrice A, allora Ax = λx: la matrice A trasforma il vettore x in un
vettore le cui componenti sono moltiplicate per λ: se λ > 1, allora A ha l’effetto di allungare x di un fattore λ;
se invece 0 < λ < 1, allora x si restringe di un fattore λ; gli effetti sono simili, ma il verso del vettore risultante
Ax è opposto, quando λ < 0. I quattro casi che si possono presentare sono illustrati in Figura 8.2.
Altre proprietà da tenere presenti sono le seguenti:
G Se tutti gli n autovalori di una matrice A sono distinti, allora gli n autovettori u (1) , u (2) ,...u (n) sono
linearmente indipendenti. 1
G Se A è una matrice simmetrica reale definita positiva, allora i suoi autovalori sono tutti reali e positivi.
Introduciamo ora il raggio spettrale di una matrice A .
Definizione 8.5.1 Il raggio spettrale ρ(A) di una matrice A è definito da
ρ(A) = max |λ|
λ autovalore di A
Quindi il raggio spettrale è il massimo, in modulo, degli autovalori di A (ricordiamo che se λ è un
complesso, λ = α + iβ, con i = −1, si ha |λ| = √ α 2 + β 2 ).
Possiamo ora definire la norma 2 su matrici indotta dalla norma 2 su vettori. Si può, infatti, provare che
√
G ‖A‖ 2 = ρ(A T A).
Inoltre, per ogni norma naturale, vale il risultato
Raggio
spettrale
Norma 2 su
matrici
ρ(A) ≤ ‖A‖
Nello studiare i metodi iterativi per risolvere i sistemi lineari, sarà di particolare importanza sapere quando
le potenze di una matrice tendono alla matrice nulla. Matrici A, per cui (A k ) i j → 0 per k → ∞, qualunque
sia i , j = 1,2,...,n, (consideriamo A · A ··· A k volte e gli elementi della matrice risultante tendono a zero per
k → ∞) si dicono matrici convergenti. Diciamo che una matrice A di dimensione n è convergente se
lim
k→∞ (Ak ) i j = 0, i , j = 1,2,...,n
Si ha il seguente teorema.
Matrice
convergente
Teorema 8.5.1 Data una matrice A di dimensione n, sono equivalenti le seguenti proposizioni
1. A è una matrice convergente.
2. lim k→∞ ‖A k ‖ = 0, per qualche norma naturale.
3. lim k→∞ ‖A k ‖ = 0, per tutte le norme naturali.
4. ρ(A) < 1.
5. lim k→∞ A k x = 0, qualunque sia il vettore x.
1 Dati n vettori linearmente indipendenti di R n , u (1) , u (2) ,...u (n) , ogni vettore di R n si può scrivere come una loro combinazione
lineare. Quindi esistono n coefficienti α 1 ,α 2 ,...,α n per cui x = α 1 u (1) +α 2 u (2) +...+α n u (n) . Inoltre, per vettori linearmente indipendenti
vale il risultato: α 1 u (1) + α 2 u (2) + ... + α n u (n) = 0 se e solo se tutti i coefficienti α i sono uguali a zero, per i = 1,2,...,n.
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