Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

8. METODI ITERATIVI PER LA SOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI
Norma
compatibile
Norma
naturale
traccia di una
matrice
G ‖A‖ = 0 se e solo se A = 0
G ‖αA‖ = |α|‖A‖
G ‖A + B‖ ≤ ‖A‖ + ‖B‖
G ‖AB‖ ≤ ‖A‖‖B‖
Una proprietà importante che si richiede alle norme su matrici è che siano compatibili con norme vettoriali:
la norma ‖A‖ di una matrice A si dice compatibile con la norma ‖x‖ di un vettore x se vale la
relazione
‖Ax‖ ≤ ‖A‖‖x‖
Alcune norme su matrici sono generate da norme su vettori: si parla allora di norma naturale o indotta
dalla norma di vettori. In particolare, se ‖ · ‖ è una norma su vettori in R n , allora ‖A‖ = max ‖x‖=1 ‖Ax‖ è la
norma naturale o indotta dalla norma ‖ · ‖ su vettori.
Le norme di matrici indotte dalla norma 1 e dalla norma infinito su vettori sono:
G Norma 1: ‖A‖ 1 = max j
∑ n
i=1 |a i j | (data dal massimo sulla somma delle colonne)
G Norma infinito: ‖A‖ ∞ = max i
∑ n
j =1 |a i j | (data dal massimo sulla somma delle righe)
La norma di matrice indotta dalla norma 2 è più complicata e vedremo in seguito come è definita.
È facile vedere che le norme naturali sono norme compatibili con la norma di vettori da cui sono costruite.
Una norma di matrici, che non è indotta, ma compatibile con la norma 2 è la cosiddetta norma euclidea
(o di Frobenius). Tenendo presente che, data una matrice A, si chiama traccia della matrice o tr (A) la somma
degli elementi della diagonale principale di A, la norma euclidea è data da
G N (A) = √ tr (A T A) = √ √ ∑n
tr (A A T ) =
i=1
|a i j | 2 .
j =1
8.5 Autovalori e autovettori
Data una matrice quadrata A di ordine n, se esiste un numero (reale o complesso) λ e un vettore x ≠ 0 tali
che
Ax = λx
Autovalore e
autovettore
allora λ è un autovalore e x il corrispondente autovettore della matrice A.
Scritta in maniera equivalente, la relazione definisce il sistema lineare
(A − λI )x = 0
Poichè x ≠ 0 e il termine noto del sistema è il vettore di tutti zeri, il determinante della matrice del sistema
deve necessariamente essere uguale a zero, cioè det(A − λI ) = 0.
Lo sviluppo del determinante porta a un polinomio di grado n nell’incognita λ:
λ n − tr (A)λ n−1 + ... + (−1) n det(A) = 0
Polinomio Questo polinomio si chiama polinomio caratteristico. Le sue n radici, che chiamiamo λ 1 ,λ 2 ,...,λ n , sono gli
caratteristico n autovalori della matrice A.
Per le proprietà dei polinomi vale:
n∑
λ i = tr (A) = a 11 + a 22 + ... + a nn
i=1
e
n∏
λ i = det(A)
i=1
116
Alcune proprietà sugli autovalori e autovettori sono le seguenti:
G Se λ è autovalore della matrice A, allora λ k è autovalore della matrice potenza A k (cioè A · A ··· A k
volte).
G Se λ è autovalore della matrice A, e A è regolare, allora λ −1 è autovalore della matrice inversa A −1 .