Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

8.4. Norme di matrici
Figura 8.1: Vettori in R 2 con norma unitaria nelle norme 1, ∞ e 2.
Tra le norme 1, ∞ e 2 valgono le seguenti relazioni (che pongono un’equivalenza tra esse). Dato un vettore
x ∈ R n :
‖x‖ ∞ ≤ ‖x‖ 2 ≤ n‖x‖ ∞
‖x‖ ∞ ≤ ‖x‖ 1 ≤ n‖x‖ ∞
Esempio
Esempio 8.3.1 Il vettore x = (1,5,−20) T ha norme:
‖x‖ 1 = |1| + |5| + | − 20| = 26
‖x‖ ∞ = max(|1|,|5|,| − 20|) = 20
√
‖x‖ 2 = (1 2 + 5 2 + (−20) 2 ) = 426 = 20.639767441
Per la norma euclidea vale la diseguaglianza di Cauchy-Schwarz:
Diseguaglianza
di Cauchy-
Schwarz
x T y ≤ ‖x‖ 2 ‖y‖ 2
Dati due vettori x e y ∈ R n , si definisce distanza tra i due vettori la norma della differenza tra i vettori.
Quindi:
Distanza tra
vettori
‖x − y‖ 1 =
n∑
|x i − y i |
i=1
‖x − y‖ ∞ = max |x i − y i |
1≤i≤n
√ n∑
‖x − y‖ 2 = |x i − y i | 2
i=1
Il concetto di distanza serve per definire il limite di una successione di vettori.
Data una successione di vettori in R n , x (k) , per k = 1,2,...,∞, si dice che la successione converge ad un
vettore x di R n e si scrive lim k→∞ x (k) = x se, per ogni ɛ > 0, esiste un intero m tale che
‖x (k) − x‖ < ɛ per tutti gli indici k ≥ m
Limite di una
successione
di vettori
8.4 Norme di matrici
Analogamente alla definizione di norma vettoriale, la norma di matrici quadrate di dimensione n è una
funzione, che indichiamo con ‖ · ‖ che, per tutte le matrici A e B di dimensione n e per tutti i numeri reali (o
complessi) α, soddisfa le seguenti proprietà:
G ‖A‖ > 0 per ogni A ≠ 0
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