Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

8. METODI ITERATIVI PER LA SOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI
dove H rappresenta la matrice di discretizzazione del metodo, T rappresenta il vettore delle temperature nei
nodi e q è il vettore dei termini noti che deriva dal metodo applicato.
La matrice H puó avere una dimensione molto elevata ma ha la caratteristica di essere sparsa, cioè di
avere pochi elementi diversi da zero per ogni riga.
Per risolvere sistemi lineari di questo tipo, si preferisce usare metodi iterativi piuttosto che diretti. In
questo Capitolo presentiamo alcuni dei metodi iterativi per la risoluzione di sistemi lineari.
8.2 Metodi iterativi
Per risolvere un sistema di equazioni lineari Ax = b, applicando un metodo diretto, e trascurando gli
errori di arrotondamento, si ottiene la soluzione esatta del problema in un numero finito (e noto a priori)
di operazioni. Nei metodi iterativi, invece, si parte da un’approssimazione iniziale che viene migliorata,
mediante un procedimento iterativo, fino ad ottenere una approssimazione sufficientemente accurata della
soluzione. L’idea di risolvere sistemi lineri con metodi iterativi risale ai tempi di Gauss (1823), ma solo con
l’avvento dei computers (negli anni cinquanta) si può osservare il loro sviluppo, visto che diventa possibile
risolvere sistemi lineari dove la matrice A è sparsa e di grandi dimensioni – un particolare tipo di problema
improponibile per i metodi diretti. Difatti, nei metodi diretti, il processo di eliminazione di Gauss (o la
decomposizione della matrice di partenza nel prodotto LU con L triangolare inferiore e U triangolare superiore)
porta all’introduzione del cosiddetto fill-in, cioè a matrici L e U con elementi diversi da zero là dove
la matrice di partenza A ha elementi nulli. I metodi diretti diventano quindi proibitivi perchè troppo costosi
per quanto riguarda il numero di operazioni aritmetiche e l’occupazione di dati che devono essere salvati per
l’implementazione numerica del metodo stesso. I metodi iterativi, al contrario, lavorano direttamente sulla
matrice A e, dal momento che A viene coinvolta solo in termini di prodotti matrice-vettore, non c’è neanche
bisogno di memorizzare tutta la matrice (in genere, quando la matrice è sparsa, si lavora su memorizzazioni
in forma compatta delle matrici, memorizzando solo gli elementi non nulli che servono per il prodotto
matrice-vettore).
Quando abbiamo studiato gli zeri di funzione nel Capitolo 4, data un’approssimazione iniziale, si procedeva
nell’algoritmo iterativo fino a quando lo scarto tra due approssimazioni successive non diventava
minore di una prefissata tolleranza.
Nel caso dei sistemi lineari, l’approccio è simile. Si parte da un vettore iniziale che approssima la soluzione
del sistema e, mediante un certo procedimento ricorsivo, si calcola una nuova approssimazione (un
vettore). Dobbiamo dunque essere capaci di misurare lo scarto tra due vettori in modo da capire quando la
successione dei vettori generati dall’algoritmo tende al vettore soluzione del sistema lineare.
Abbiamo perciò bisogno di definire le norme di vettori e di matrici. Nel seguito, tratteremo solo norme di
matrici e vettori definite nello spazio dei numeri reali (e non complessi).
Norma
Norme 1, ∞,
8.3 Norme di vettori
Il concetto di norma generalizza quello di valore assoluto (o modulo) di un numero reale (o complesso).
Sia R n lo spazio dei vettori colonna di lunghezza n. La norma di un vettore x ∈ R n è una funzione, ‖ · ‖,
definita in R n e a valori in R, che gode delle seguenti proprietà:
G ‖x‖ > 0 per ogni x ≠ 0
G ‖x‖ = 0 se e solo se x = 0
G ‖αx‖ = |α|‖x‖ dove α è un reale (o complesso) arbitrario
G ‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖
Le principali norme vettoriali sono:
2
G Norma assoluta (o norma l 1 ), indicata con ‖ · ‖ 1 : ‖x‖ 1 = ∑ n
i=1 |x i |
G Norma massima (o norma infinito, l ∞ ), indicata con ‖ · ‖ ∞ : ‖x‖ ∞ = max 1≤i≤n |x i |
G Norma euclidea (o norma l 2 ), indicata con ‖ · ‖ 2 : ‖x‖ 2 = √ ∑n
x T x =
i=1 |x i | 2
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