Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

CAPITOLO 8
Metodi Iterativi per la soluzione di sistemi
lineari
Mi spiace ammettere che la materia
che mi è piaciuta di meno è stata la
matematica. Ci ho pensato su, e
credo che la ragione sia che la
matematica non lascia spazio alle
discussioni. Se fai un errore, non
puoi scamparla.
Malcom X
8.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.2 Metodi iterativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8.3 Norme di vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8.4 Norme di matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
8.5 Autovalori e autovettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8.6 Metodi classici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
8.6.1 Convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
8.6.2 Controllo della convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.6.3 I metodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
8.6.4 Convergenza dei metodi di Jacobi, Gauss-Seidel, rilassamento . . . . . . . . . . . . . . . . 125
8.7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
8.1 Introduzione
L’equazione che governa la conduzione del calore in una piastra metallica piana, omogenea e isotropa
prende il nome di equazione di Poisson e si scrive come
∂ 2 T
∂x 2 + ∂2 T f (x, y)
=
∂y
2
ρcK H
Si tratta di un’equazione alle derivate parziali dove T [ o C ] è la temperatura, K H [m 2 /s] è il coefficiente di diffusività
termica, ρ [K g /m 2 ] è la densità della piastra, c [C al/K g o C ] è il calore specifico, f (x, y) [C al/m 2 s] è il
calore aggiunto o sottratto alla piastra per unità di tempo e di area. In letteratura diverse tecniche numeriche
permettono di risolvere il problema (ricordiamo i metodi alle differenze finite e i metodi agli elementi finiti),
in determinati punti (detti nodi) della piastra. Qualunque sia il metodo utilizzato, si arriva ad un sistema di
equazioni lineari del tipo
HT = q
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