Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

7.6. Esercizi
(d) Da Ax = b si ha LU x = b.
Si pone U x = y e si hanno i due sistemi da risolvere per sostituzione in avanti e all’indietro: Ly = b e
U x = y.
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎧
0.2 0 0 y 1 2.8 ⎪⎨ y 1 = 2.8/0.2 = 14
⎝ 1 1.5 0 ⎠⎝y 2
⎠ = ⎝19.25⎠ =⇒ y 2 = (19.25 − 14)/1.5 = 3.5
0 2 1.25 y 3 10.75
⎪⎩
y 3 = (10.75 − 2 · 3.5)1.25 = 3
⎛ ⎞⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎧
1 5 1 x 1 14 ⎪⎨ x 3 = 3
⎝0 1 0.5⎠⎝x 2
⎠ = ⎝3.5⎠ =⇒ x 2 = 3.5 − 3 · 0.5 = 2
0 0 1 x 3 3
⎪⎩
x 1 = 14 − 3 − 5 · 2 = 1
Quindi x = (1, 2, 3) T .
Esercizio 7.6.3 ⎛ È dato il sistema ⎞ lineare ⎛ Ax = ⎞ b dove:
16 −8 4
20
A = ⎝−8 20 4 ⎠ b = ⎝ 28 ⎠
4 4 12.25
28.25
(a) Provare che la matrice è definita positiva.
(b) Fattorizzare la matrice secondo Cholesky: A = LL T .
(c) Usare la fattorizzazione per risolvere il sistema Ax = b e per calcolare det(A 3 ).
Soluzione
(a) La matrice è simmetrica, definita positiva in quanto gli elementi della diagonale principale sono tutti
positivi e la matrice è diagonalmente dominante in senso stretto:
16 > | − 8| + |4| = 12
20 > | − 8| + |4| = 12
12.25 > |4| + |4| = 8
(b) Ponendo A = LL T si ricava:
l 2 11 = 16 =⇒ l 11 = 4
l 21 l 11 = −8 =⇒ l 21 = −2
l 31 l 11 = 4 =⇒ l 31 = 1
l 2 21 + l 2 22 = 20 =⇒ l 22 = 20 − 4 = 4
l 21 l 31 + l 22 l 32 = 4 =⇒ l 32 = (4 + 2)/4 = 1.5
l 2 31 + l 2 32 + l 2 33 = 12.25 =⇒ l 33 = 12.25 − 1 − 2.25 = 9 = 3
La matrice L è dunque
⎛
4 0
⎞
0
L = ⎝−2 4 0⎠
1 1.5 3
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