Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

7. METODI DIRETTI PER LA SOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI
La matrice L è dunque
⎛
1 0
⎞
0
⎝0 2 0⎠
2 4 3
Esercizio 7.6.2 ⎛ Data la matrice ⎞
0.2 1 0.2
A = ⎝ 1 6.5 1.75⎠
0 2 2.25
(a) verificare che A soddisfa le condizioni del teorema LDU ;
(b) fattorizzare secondo Crout A = LU (prendendo u i i = 1);
(c) usare la fattorizzazione per calcolare det(A −2 );
(d) usare la fattorizzazione per risolvere il sistema Ax = b, con b T = (2.8 19.25 10.75) T .
Svolgimento
(a) La matrice verifica le condizioni del teorema LDU in quanto i minori principali costruiti a partire
dall’angolo superiore sinistro hanno tutti determinante diverso da zero:
a 11 = 0.2 ≠ 0
( ) 0.2 1
det = 0.3 ≠ 0 det A = 0.375 ≠ 0
1 6.5
(b) La fattorizzazione di A come A = LU si costruisce imponendo:
⎛
⎞ ⎛
⎞⎛
⎞
0.2 1 0.2
l 11 0 0 1 u 12 u 13
A = ⎝ 1 6.5 1.75⎠ = LU = ⎝l 21 l 22 0 ⎠⎝0 1 u 23
⎠
0 2 2.25
l 31 l 32 l 33 0 0 1
Usando le formule di pag. 106, si ottiene
l 11 = 0.2
0.2u 12 = 1 =⇒ u 12 = 5
0.2u 13 = 0.2 =⇒ u 13 = 1
l 21 = 1
1 · 5 + l 22 = 6.5 =⇒ l 22 = 1.5
1 · 1 + 1.5u 23 = 1.75 =⇒ u 23 = 0.5
l 31 = 0
0 · 5 + l 32 = 2 =⇒ l 32 = 2
0 · 1 + 2 · 0.5 + l 33 = 2.25 =⇒ l 33 = 1.25
Le matrici L e U sono:
⎛
0.2 0 0
⎞
⎛
1 5
⎞
1
L = ⎝ 1 1.5 0 ⎠ U = ⎝0 1 0.5⎠
0 2 1.25
0 0 1
(c) Si ha det A = detLU = detL detU = detL = 0.375. Quindi det(A −2 ) = det(A) −2 = 0.375 −2 = 7.11111111.
110