Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

7.6. Esercizi
matrice diagonale con elementi dati dalle radici quadrate degli elementi diagonali di D (si prende il valore
positivo della radice quadrata, e il risultato è un numero reale in virtù del fatto che gli elementi diagonali di
D sono tutti positivi). Si pone, quindi, M = LD 1/2 e si ottiene A = M M T : abbiamo il prodotto di una matrice
triangolare inferiore con coefficienti tutti reali per la sua trasposta. Se D non fosse definita positiva (ma avesse
qualche elemento negativo), allora neanche A sarebbe definita positiva e la matrice M sarebbe non reale.
Quindi se A è simmetrica, si ha la decomposizione nel prodotto LL T (chiamiamo di nuovo con L la
matrice M) con L reale se e solo se A è definita positiva.
I coefficienti della matrice L si trovano facendo il prodotto righe per colonne ed eguagliando i termini ai
corrispondenti elementi di A.
Si ricava:
l 11 = a 11
l i 1 = a i 1 /l 11 i = 2,3,...,n
i−1 ∑
l i i = √ (ai i − l 2 i k ) i = 2,3,...,n
k=1
l i j = 1 j∑
−1
(a i j − l i k l j k ) j = 2,...,n i = j + 1,...,n
l i i
k=1
Tale fattorizzazione prende il nome di fattorizzazione di Cholesky 3 .
7.6 Esercizi
Esercizio 7.6.1 ⎛ Sia data ⎞ la matrice
1 0 2
A = ⎝0 4 8 ⎠
2 8 29
Provare che verifica le condizioni del teorema LDU e trovare i fattori L e L T tali che A = LL T .
( ) 1 0
Svolgimento La matrice A è simmetrica e soddisfa le ipotesi del teorema LDU ( infatti |a 11 | = 1, det =
0 4
4 e det(A) = 116 − 16 − 64 = 36) per cui è possibile scrivere la matrice A come A = LL T . Si ha, quindi:
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
l 11 0 0 l 11 l 21 l 31 l 2 ⎞
11
l 11 l 21 l 11 l 31
⎝l 21 l 22 0 ⎠⎝
0 l 22 l 32
⎠ = ⎝l 21 l 11 l21 2 + l 22 2 l 21 l 31 + l 22 l 32
⎠
l 31 l 32 l 33 0 0 l 33 l 31 l 11 l 31 l 21 + l 32 l 22 l31 2 + l 32 2 + l 33
2
Devono quindi valere le relazioni:
l 2 11 = 1 =⇒ l 11 = 1
l 21 l 11 = 0 =⇒ l 21 = 0
l 31 l 11 = 2 =⇒ l 31 = 2
l 2 21 + l 2 22 = 4 =⇒ l 22 = 4 − 0 = 2
l 21 l 31 + l 22 l 32 = 8 =⇒ l 32 = 8/2 = 4
√
l31 2 + l 32 2 + l 33 2 = 29 =⇒ l 33 = 29 − 2 2 − 4 2 = 29 − 4 − 16 = 9 = 3
3 André-Louis Cholesky (1875-1918) fu un matematico francese. Fu ufficiale ingegnere e morì alla fine della prima guerra mondiale.
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