Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

7. METODI DIRETTI PER LA SOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI
Dalla definizione di matrice definita positiva, deve essere x T Ax > 0 qualunque sia il vettore x, vale a dire:
⎛
⎞⎛
⎞
a 11 a 12 ... a 1n x 1
( )
a 21 a 22 ... a 2n
x 2
x1 x 2 ... x m ⎜
⎝
.
. ...
⎟⎜
. ⎠⎝
⎟
. ⎠
a n1 a n2 ... a nn x m
⎛∑ n
j =1 a ⎞
1j x j
= ( ∑ n
)
j =1
x 1 x 2 ... x m a 2j x j
n∑ n∑
⎜
⎝
⎟
. ⎠ = a i j x i x j > 0
i=1 j =1
∑ n
j =1 a n j x j
Basarsi sulla definizione per verificare che una matrice sia o meno definita positiva può essere molto
difficile. Fortunatamente, ci sono molti criteri che ci permettono di dire se una matrice è definita positiva
oppure no.
IL seguente risultato ci permette di eliminare certe matrici dalla classe delle matrici definite positive, se
non soddisfano certi requisiti.
Teorema 7.5.4 Se una matrice A di dimensione n è definita positiva, allora
G A ammette la matrice inversa;
G a i i > 0 per ogni i = 1,2,...,n
Quindi se una matrice ha elementi a i i ≤ 0, non è una matrice definita positiva, perché, se lo fosse, in base al
teorema avrebbe elementi diagonali tutti positivi.
Vediamo ora una condizione necessaria e sufficiente per matrici definite positive.
Teorema 7.5.5 Una matrice A simmetrica di dimensione n è definita positiva se e solo se tutti i suoi minori
principali hanno determinante positivo.
Teorema 7.5.6 Una matrice A simmetrica di dimensione n con elementi diagonali tutti positivi e
diagonalmente dominante è definita positiva.
Anche per matrici simmetriche definite positive, si può applicare il metodo di eliminazione di Gauss
senza operare scambi di righe e di colonne e i calcoli rimangono stabili rispetto alla crescita degli errori di
arrotondamento. Questo risultato ci serve per la fattorizzazione di Cholesky.
7.5.3 Fattorizzazione di Cholesky
Nel caso in cui la matrice A sia simmetrica, il teorema LDU si presenta nel seguente modo
Teorema 7.5.7 (LDU per matrici simmetriche) Se A è una matrice simmetrica e nessuno dei suoi minori
principali è singolare, allora A si può decomporre nel prodotto A = LDL T , dove L è triangolare inferiore con
elementi diagonali unitari ed è univocamente determinata, L T è la sua trasposta e D è matrice diagonale.
Dimostrazione. Intanto valgono le ipotesi del teorema LDU e quindi si può scrivere in maniera univoca
A = LDU con L matrice triangolare inferiore, D diagonale e U triangolare superiore. Inoltre, poichè A è
simmetrica, e quindi A = A T , si ha pure LDU = (LDU ) T vale a dire LDU = U T D T L T = U T DL T . Si deduce,
dall’uguaglianza, che U = L T e la decomposizione diventa A = LDL T . ✔
Nel caso particolare in cui A sia simmetrica e definita positiva, da x T Ax > 0 vale pure
x T Ax = x T LDL T x = (L T x) T DL T x = y T Dy > 0 con y = L T x per ogni x > 0.
Essendo A è definita positiva, risulta anche D definita positiva. Perciò gli elementi di D (che è una matrice
diagonale) devono necessariamente essere tutti positivi. In tal caso, si considera la matrice D 1/2 che è la
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