Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - UniversitÃ degli ...

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7. METODI DIRETTI PER LA SOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI G Nel caso in cui la matrice D viene inglobata nella matrice U , la U ha elementi diagonali u i i ≠ 0, mentre la L ha elementi diagonali unitari. Si parla di fattorizzazione di Doolittle. Scriviamo in forma estesa il prodotto tra matrici, nell’ipotesi di operare la fattorizzazione di Crout: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ a 11 a 12 ... a 1n l 11 0 ... 0 1 u 12 ... u 1n a 21 a 22 ... a 2n ⎜ ⎝ . . ⎟ . ⎠ = l 21 l 22 ... 0 0 1 ... u 2n ⎜ ⎝ . . ⎟⎜ . ⎠⎝ . . ⎟ . ⎠ a n1 a n2 ... a nn l n1 l n2 ... l nn 0 0 ... 1 Moltiplichiamo la prima riga di L per le colonne di U ed eguagliamo i termini con gli elementi della prima riga di A. Otteniamo: l 11 · 1 = a 11 l 11 · u 1k = a 1k , k = 2,...,n Quindi: l 11 = a 11 e u 1k = a 1k /l 11 . Abbiamo ricavato gli elementi della prima riga di L e U . Moltiplicando le successive righe di L per le colonne di U ed uguagliando i termini ai corrispondenti termini di A, abbiamo: l i j = a i j − j −1 ∑ m=1 u i j = 1 (a i j − l i i l i m u m j i = 1,2,...n j = 1,2,...,i i−1 ∑ m=1 l i m u m j ) i = 1,2,...,n − 1 j = i + 1,...n Si calcolano prima gli elementi della riga i -sima di L e poi quelli della riga i -sima di U , per i = 1,2,...,n. Trovate le matrici L e U , il sistema di partenza Ax = b è equivalente a LU x = b. Si pone, dunque, y = U x, ottenendo il sistema Ly = b. Si ricava facilmente y mediante sostituzione in avanti e da U x = y si ricava x mediante sostituzione all’indietro. Lo sforzo computazionale maggiore è quindi quello per il calcolo dei coefficienti di L e U . Nell’eliminazione di Gauss noi ricaviamo espressamente solo la U mentre le modifiche operate sulla colonna dei termini noti è equivalente al prodotto L −1 b (quindi da LU x = b risolviamo U x = L −1 b). 7.5.2 Fattorizzazione di Gauss senza pivoting Matrice diagonalmente dominante in senso stretto per righe Matrice diagonalmente dominante in senso stretto per colonne Abbiamo visto che, a volte, il metodo di eliminazione di Gauss richiede scambi di righe per evitare divisioni per zero. Allo stesso modo, il teorema di fattorizzazione LDU vale su matrici A non singolari o su matrici ottenute da A mediante moltiplicazioni a sinistra o a destra con opportune matrici di permutazione. Ci chiediamo se esistono matrici per le quali il metodo di eliminazione di Gauss possa essere implementato senza scambi di righe e per le quali l’algoritmo di eliminazione di Gauss sia stabile rispetto ad una crescita di errori di arrotondamento. Vediamo, nel seguito, alcune speciali classi di matrici per cui valgono le nostre richieste. Una matrice A di dimensione n si dice diagonalmente dominante in senso stretto per righe se vale la relazione |a i i | > n∑ |a i j | per ogni i = 1,2,...,n. j =0 j ≠i Una matrice A di dimensione n si dice diagonalmente dominante in senso stretto per colonne se vale la relazione |a j j | > n∑ |a i j | per ogni j = 1,2,...,n. i=0 i≠j 106
7.5. Fattorizzazione triangolare Esempio Esempio 7.5.2 ⎛ 7 3 ⎞ 1 A = ⎝2 10 −2⎠ 5 0 6 A è una matrice diagonalmente dominante in senso stretto per righe poichè vale:|7| > |3| + |1| = 4, |10| > |2|+|−2| = 4 e |6| > |5|+|0|. Non è diagonalmente dominante in senso stretto per colonne in quanto sulla prima colonna si ha |7| = |2| + |5|. Esempio Esempio 7.5.3 ⎛ 6 3 ⎞ −4 A = ⎝ 3 9 5 ⎠ −4 5 11 A non è diagonalmente dominante in senso stretto per righe poichè, sulla prima riga si ha |6| < |3|+|−4| = 7. Essendo simmetrica, la matrice non può essere neanche diagonalmente dominante in senso stretto per colonne, perchè la relazione che abbiamo sulla prima riga vale sulla prima colonna. Le definizioni appena date si possono rilassare, definendo le matrici diagonalmente dominanti. Una matrice A di dimensione n si dice diagonalmente dominante per righe se vale la relazione |a i i | ≥ n∑ |a i j | per ogni i = 1,2,...,n. j =0 j ≠i Analoga è la definizione di matrice diagonalmente dominante per colonne (basta applicare la definizione di matrice diagonalmente dominante per righe sulla matrice A T ) Si hanno i seguenti teoremi. Matrice diagonalmente dominante Teorema 7.5.2 Se A è una matrice diagonalmente dominante e non singolare, allora il metodo di eliminazione di Gauss può essere implementato senza alcuno scambio di righe e di colonne e i calcoli sono stabili rispetto alla crescita degli errori di arrotondamento. Teorema 7.5.3 Se A è una matrice diagonalmente dominante in senso stretto (per righe o per colonne), allora A è non singolare. In questo caso il metodo di eliminazione di Gauss può essere implementato senza alcuno scambio di righe e di colonne e i calcoli sono stabili rispetto alla crescita degli errori di arrotondamento. Un’altra importante classe di matrici è data dalle matrici definite positive. Una matrice A di dimensione n si dice G definita positiva se è simmetrica e vale x T Ax > 0 qualunque sia il vettore x ≠ 0 G semidefinita positiva se x T Ax ≥ 0 qualunque sia il vettore x, G indefinita altrimenti. 2 Si ha un’analoga definizione per matrici definite negative e semidefinite negative. dimensione n si dice definita negativa se è simmetrica e vale x T Ax < 0 qualunque sia il vettore x ≠ 0, G semidefinita negativa se x T Ax ≤ 0 qualunque sia il vettore x. Una matrice A di 2 Osserviamo che non tutti gli autori richiedono la simmetria per definire una matrice definita positiva, e distinguono tra matrici definite positive e matrici simmetriche definite positive. Matrice definita positiva Matrice definita negativa 107
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Annamaria Mazzia Appunti di Calcolo
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1.6. Il file system G l’aiutante
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CAPITOLO 2 Richiami di analisi La t
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2.5. Teoremi utili f f f ′ f f
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Bibliografia [1] ASCHER, U. M. e GR
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