Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

7. METODI DIRETTI PER LA SOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI
G Nel caso in cui la matrice D viene inglobata nella matrice U , la U ha elementi diagonali u i i ≠ 0, mentre
la L ha elementi diagonali unitari. Si parla di fattorizzazione di Doolittle.
Scriviamo in forma estesa il prodotto tra matrici, nell’ipotesi di operare la fattorizzazione di Crout:
⎛
⎞ ⎛
⎞⎛
⎞
a 11 a 12 ... a 1n l 11 0 ... 0 1 u 12 ... u 1n
a 21 a 22 ... a 2n
⎜
⎝
.
.
⎟
. ⎠ = l 21 l 22 ... 0
0 1 ... u 2n
⎜
⎝
.
.
⎟⎜
. ⎠⎝
.
.
⎟
. ⎠
a n1 a n2 ... a nn l n1 l n2 ... l nn 0 0 ... 1
Moltiplichiamo la prima riga di L per le colonne di U ed eguagliamo i termini con gli elementi della prima
riga di A. Otteniamo:
l 11 · 1 = a 11
l 11 · u 1k = a 1k , k = 2,...,n
Quindi: l 11 = a 11 e u 1k = a 1k /l 11 . Abbiamo ricavato gli elementi della prima riga di L e U .
Moltiplicando le successive righe di L per le colonne di U ed uguagliando i termini ai corrispondenti
termini di A, abbiamo:
l i j = a i j −
j −1 ∑
m=1
u i j = 1 (a i j −
l i i
l i m u m j i = 1,2,...n j = 1,2,...,i
i−1 ∑
m=1
l i m u m j ) i = 1,2,...,n − 1 j = i + 1,...n
Si calcolano prima gli elementi della riga i -sima di L e poi quelli della riga i -sima di U , per i = 1,2,...,n.
Trovate le matrici L e U , il sistema di partenza Ax = b è equivalente a LU x = b.
Si pone, dunque, y = U x, ottenendo il sistema Ly = b. Si ricava facilmente y mediante sostituzione in
avanti e da U x = y si ricava x mediante sostituzione all’indietro.
Lo sforzo computazionale maggiore è quindi quello per il calcolo dei coefficienti di L e U .
Nell’eliminazione di Gauss noi ricaviamo espressamente solo la U mentre le modifiche operate sulla
colonna dei termini noti è equivalente al prodotto L −1 b (quindi da LU x = b risolviamo U x = L −1 b).
7.5.2 Fattorizzazione di Gauss senza pivoting
Matrice diagonalmente
dominante in
senso stretto
per righe
Matrice diagonalmente
dominante in
senso stretto
per colonne
Abbiamo visto che, a volte, il metodo di eliminazione di Gauss richiede scambi di righe per evitare divisioni
per zero. Allo stesso modo, il teorema di fattorizzazione LDU vale su matrici A non singolari o su matrici
ottenute da A mediante moltiplicazioni a sinistra o a destra con opportune matrici di permutazione.
Ci chiediamo se esistono matrici per le quali il metodo di eliminazione di Gauss possa essere implementato
senza scambi di righe e per le quali l’algoritmo di eliminazione di Gauss sia stabile rispetto ad una crescita
di errori di arrotondamento.
Vediamo, nel seguito, alcune speciali classi di matrici per cui valgono le nostre richieste.
Una matrice A di dimensione n si dice diagonalmente dominante in senso stretto per righe se vale la
relazione
|a i i | >
n∑
|a i j | per ogni i = 1,2,...,n.
j =0
j ≠i
Una matrice A di dimensione n si dice diagonalmente dominante in senso stretto per colonne se vale la
relazione
|a j j | >
n∑
|a i j | per ogni j = 1,2,...,n.
i=0
i≠j
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