Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

7.5. Fattorizzazione triangolare
(elementi diagonali) uguali a 1, la D che è una matrice diagonale e la U che è una triangolare superiore con
elementi diagonali uguali a 1.
Nell’eliminazione di Gauss vista prima, nella U abbiamo inglobato anche la matrice D, per cui abbiamo
una fattorizzazione LU .
La decomposizione LDU è assicurata dal teorema LDU . Prima di vedere il teorema, definiamo i minori
principali di una matrice A.
Definizione 7.5.1 Data una matrice A si definisce minore principale di dimensione k (con 1 ≤ k ≤ n), la
sottomatrice che si ha prendendo le prime k righe e k colonne di A.
⎛
⎞
a 11 ... a 1k
⎜
⎝
.
⎟
. ⎠
a k1 ... a kk
Minore
principale
Teorema 7.5.1 (LDU ) Nell’ipotesi che tutti i minori principali di A, (per i = 1,2,...,n) siano non-singolari,
allora la matrice A è decomponibile in maniera univoca nel prodotto A = LDU
Qualsiasi matrice non singolare può essere condotta sotto una forma tale da soddisfare il teorema LDU
mediante opportuni scambi di righe e di colonne (abbiamo visto cosa fare quando un elemento pivotale è
nullo). Fare uno scambio di righe o di colonne significa moltiplicare la matrice A con un’opportuna matrice
di permutazione.
Una matrice di permutazione P è una matrice ottenuta dalla matrice identità operando scambi di righe o
di colonne in modo che la matrice risultante abbia esattamente un unico valore diverso da zero su ogni riga
e colonna, e tale valore sia uguale a 1.
Esempio
Esempio 7.5.1 Si consideri la matrice di permutazione P di dimensione 3 data da
⎛
1 0
⎞
0
P = ⎝0 0 1⎠
0 1 0
Matrice di
permutazione
Qualunque sia la matrice A, di dimensione 3, moltiplicandola a sinistra per P si ottiene lo scambio della
seconda e terza riga di A; invece, moltiplicandola a destra per P si ottiene lo scambio della seconda e
terza colonna di A:
⎛ ⎞⎛
⎞ ⎛
⎞
1 0 0 a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 13
PA = ⎝0 0 1⎠⎝a 21 a 22 a 23
⎠ = ⎝a 31 a 32 a 33
⎠
0 1 0 a 31 a 32 a 33 a 21 a 22 a 23
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
⎞
a 11 a 12 a 13 1 0 0 a 11 a 13 a 12
AP = ⎝a 21 a 22 a 23
⎠⎝0 0 1⎠ = ⎝a 21 a 23 a 22
⎠
a 31 a 32 a 33 0 1 0 a 31 a 33 a 32
Quindi, il teorema LDU si può applicare alla matrice A o ad un’opportuna matrice PA, se si effettua il
pivoting parziale, o a PAQ se si effettua il pivoting totale (e quindi si considerano due matrici di permutazioni
P e Q).
In genere, la matrice D viene inglobata nella L o nella U (post-moltiplicando o pre-moltiplicando le L e le
U definite prima per la D).
G Nel caso in cui la matrice D viene inglobata nella matrice L, la L ha elementi diagonali l i i ≠ 0, mentre
la U ha elementi diagonali unitari. Si parla di fattorizzazione di Crout.
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