Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

7. METODI DIRETTI PER LA SOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI
e, infine,
x 1 + x 2 +x 3 = 1
1x 2 + 1x 3 = 0
0.9999x 3 = 1
Questa volta si ha (sempre lavorando con 3 cifre decimali) x 3 = 1.000, x 2 = −1.000, x 1 = 1.000, che è la
soluzione corretta a 3 cifre decimali.
7.5 Fattorizzazione triangolare
Il metodo di eliminazione di Gauss, visto in forma matriciale, decompone la matrice
A nel prodotto LU di due matrici L, triangolare inferiore, e U , triangolare superiore.
Basta considerare, ad ogni passo, la matrice
⎛
1
0 1
. 0 1
.
. 0 1
M (k) .
.
. − a(k−1) k+1k
=
a (k−1)
kk
.
.
. − a(k−1) k+2k
a (k−1)
kk
.
.
.
.
⎜
⎝
.
.
. − a(k−1) n k
a (k−1)
kk
1
. ..
Si considera quindi la matrice A (k) = M (k) A (k−1) = M (k) M (k−1) ... M (1) A e il vettore
b (k) = M (k) b (k−1) = M (k) M (k−1) ··· M (1) b.
Dopo n − 1 passi, avremo
U = A (n−1) = M (n−1) ... M (2) M (1) A
con U matrice triangolare superiore. Otteniamo quindi A = LU , con
L = (M (n−1) ··· M (2) M (1) ) −1 = [M (1) ] −1 ···[M (n−2) ] −1 [M (n−1) ] −1
. ..
⎞
⎟
1
⎠
L è triangolare inferiore con elementi dati dal prodotto delle matrici M (k)
l’eliminazione di Gauss.
generate durante
7.5.1 Fattorizzazione LDU
L’eliminazione di Gauss è un caso particolare di fattorizzazione LDU , nella quale la matrice A viene decomposta
nel prodotto di 3 matrici, la L che è triangolare inferiore con elementi sulla diagonale principale
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