Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

7.4. Strategie di pivoting
Si vanno quindi a cercare i più piccoli interi q e r tali che
|a qr
(i−1) | = max
i≤k,j ≤n |a(i−1) j k
|
Si opera, quindi, uno scambio non solo di righe ma anche di colonne in modo da portare l’elemento
pivotale dalla riga e colonna qr al posto i i . Di questo scambio di colonne bisogna conservare
traccia perchè vengono scambiate anche le componenti del vettore soluzione, in modo da effettuare lo
scambio inverso una volta risolto il sistema.
Il maggiore sforzo computazionale garantisce maggiore accuratezza e stabilità nei risultati, nel senso che
gli errori di arrotondamento non sono così amplificati come potrebbe succedere senza l’adozione di una
tecnica di pivoting.
Esempio
Esempio 7.4.1 Consideriamo il sistema
x 1 + x 2 +x 3 = 1
x 1 + 1.0001x 2 + 2x 3 = 2
x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 1
L’esatta soluzione, corretta a 4 cifre decimali, è x = (1, −1.0001, 1.0001) T .
L’eliminazione di Gauss senza pivoting porta al sistema
x 1 + x 2 +x 3 = 1
0.0001x 2 + 1x 3 = 1
1x 2 + 1x 3 = 0
e, infine, a
x 1 + x 2 +x 3 = 1
0.0001x 2 + 1x 3 = 1
−9999x 3 = −10000
Se usiamo un’aritmetica in base 10 con 3 cifre decimali, allora la sostituzione all’indietro ci darà
x 3 = −10000
−9999 = 1.000, x 2 = 1 − 1
0.0001 = 0, x 1 = 0.
La soluzione è completamente sbagliata.
Se, invece, facciamo lo scambio della seconda e terza riga adottando il pivoting parziale, allora avremo
il sistema:
x 1 + x 2 +x 3 = 1
1x 2 + 1x 3 = 0
0.0001x 2 + 1x 3 = 1
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