Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

7. METODI DIRETTI PER LA SOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI
G Al secondo passo, consideriamo il sistema ridotto che si ha ignorando la prima equazione del sistema
e la prima colonna della nuova matrice che abbiamo ottenuta (che ha tutti 0 al di sotto dell’elemento
diagonale).
A questa sottomatrice applichiamo lo stesso procedimento di prima, sottraendo, quindi, la prima
equazione della sottomatrice moltiplicata per a(1) 32
a (1)
22
via.
Dopo questo passo, il sistema sarà equivalente a:
⎛
⎞
a 11 a 12 ... ... a ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1n
0 a (1)
22
a (1)
23
... a (1) x 1
b 1
2n
x 2
b (1)
2
. 0 a (2)
33
... a (2)
3n
x 3
⎜
⎝
.
.
. ...
⎟⎜
=
b (2)
3 . ⎠⎝
⎟ ⎜ ... ⎟
. ⎠ ⎝ ⎠
0 0 a (2)
n3
... a nn
(2) x n b n
(1)
dalla seconda equazione della sottomatrice, e così
G Dopo aver applicato questo procedimento n − 1 volte, avremo un sistema triangolare superiore
semplice da risolvere utilizzando l’algoritmo di sostituzione all’indietro.
⎛
⎞
a 11 a 12 ... ... a ⎛ ⎞ ⎛
1n
0 a (1)
22
a (1)
23
... a (1) x 1
2n
x 2
. 0 a (2)
33
... a (2)
3n
x 3
⎜
⎝
.
. ... ...
⎟⎜
=
. ⎠⎝
⎟ ⎜
. ⎠ ⎝
0 0 ... 0 a nn
(n−1) x n
7.4 Strategie di pivoting
b 1
b (1)
2
b (2)
3
...
b (n−1)
n
Gli elementi diagonali generati ad ogni passo del metodo di eliminazione a (k) sono detti elementi
i i
pivotali.
Nel descrivere il metodo di eliminazione di Gauss abbiamo supposto, per semplicità, che tutti gli elementi
diagonali fossero diversi da zero. Ma una matrice può essere non singolare senza che gli elementi della
diagonale principale siano tutti diversi da zero.
Inoltre, andando avanti nel procedimento di eliminazione, può succedere che un elemento pivotale diventi
nullo – e quindi la corrispondente incognita non può essere eliminata attraverso quella equazione nel
procedimento di sostituzione all’indietro.
C’è, infine, da considerare il fatto che si possono avere grossi errori numerici quando un elemento
pivotale è molto piccolo.
Cosa fare in queste circostanze In che modo applicare l’eliminazione di Gauss
Si hanno le cosiddette strategie di pivoting:
G pivoting parziale
Mano mano che si va avanti nell’eliminazione, per i = 1,2,...,n −1 a ciascuno stadio si sceglie il più
piccolo intero q tale che
|a (i−1) | = max
qi
i≤j ≤n |a(i−1) |
j i
e si scambiano le righe i e q.
Si opera, dunque, un controllo sulla colonna i -sima dalla posizione i fino alla posizione n, andando
a cercare il coefficiente massimo in modulo.
G pivoting totale
Nel pivoting totale, invece, la ricerca dell’elemento più grande avviene in tutta la sottomatrice che
si ha considerando le colonne e le righe rispettivamente a destra e sotto l’elemento diagonale i -simo.
⎞
⎟
⎠
102