Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

7.3. Metodo di eliminazione di Gauss
coefficiente (cioè per − 3 2 ) e poi sottraiamo la terza equazione dalla seconda moltiplicata per − 3 2 :
3
2 x 2 + 4x 3 = 15 −
− 3 2 (−x 2 − 2x 3 = −8) ⇐⇒ 3 2 x 2 + 3x 3 = 12 =
x 3 = 3
– Sostituiamo questa equazione alla terza del sistema, ricavando il sistema equivalente
2x 1 + x 2 + 2x 3 = 10
−x 2 − 2x 3 = −8
x 3 = 3
Con tutte le trasformazioni effettuate, abbiamo trasformato il sistema di partenza in uno equivalente, che
si può risolvere facilmente mediante sostituzioni all’indietro. Dall’ultima equazione abbiamo x 3 = 3. Sostituendo
questo valore nella seconda equazione otteniamo −x 2 − 6 = −8 da cui x 2 = 2. Infine, sostituendo i
valori di x 3 e x 2 nella prima equazione abbiamo 2x 1 + 2 + 6 = 10 da cui x 1 = 1.
7.3.3 Eliminazione di Gauss: caso generale
Sia dato un sistema di n equazioni, in cui la matrice A è piena (o densa, cioè abbia quasi tutti gli elementi
non nulli). Applichiamo trasformazioni elementari per riga in modo da ridurre il sistema di partenza in uno
equivalente di forma triangolare superiore, che potremo risolvere mediante sostituzione all’indietro.
La soluzione del problema Ax = b, infatti, non cambia se moltiplichiamo una riga per una costante, se
sottraiamo il multiplo di una riga da un’altra riga o se facciamo scambi di righe, come abbiamo detto all’inizio
della Sezione 7.2.
Supponiamo, per il momento, che tutti gli elementi della diagonale principale di A siano non nulli.
G Al primo passo vogliamo eliminare gli elementi della prima colonna al di sotto della diagonale
principale:
– sottraiamo la prima equazione moltiplicata per a 21
a 11
dalla seconda equazione:
a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + ... + a 2n x n = b 2 −
a 21
(a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + ... + a 1n x n ) = a 21
b 1 =
a 11 a 11
(a 22 − a 21
a 11
a 12 )x 2 + (a 23 − a 21
a 11
a 13 )x 3 + ... + (a 2n − a 21
a 11
a 1n )x n = b 2 − a 21
a 11
b 1
– sottraiamo la prima equazione moltiplicata per a 31
a 11
dalla terza equazione.
– ...
– sottraiamo la prima equazione moltiplicata per a n1
a 11
dalla n-sima equazione.
Come risultato di questa operazione avremo una nuova matrice con gli elementi della prima
colonna, eccetto quello di posto 11, tutti uguali a zero.
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛ ⎞
a 11 a 12 ... a 1n x 1 b 1
0 a (1)
22
... a (1)
2n
x 2
⎜
⎝
.
. ...
⎟⎜
. ⎠⎝
⎟
. ⎠ = b (1)
2 ⎜ ...
⎟
⎝ ⎠
0 a (1)
n2
... a nn
(1) x n b n
(1)
101