Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

7.3. Metodo di eliminazione di Gauss
La soluzione del sistema Ax = b può dunque procedere dal basso verso l’alto, a partire dall’ultima riga. Le
equazioni, infatti, sono
a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + ... a 1n x n = b 1
a 22 x 2 + a 23 x 3 + ... a 2n x n = b 2
a 33 x 3 + ... a 3n x n = b 2
. = . . .
a nn x n = b n
L’ultima riga si legge come a nn x n = b n . Quindi possiamo ricavare x n = b n /a nn .
Noto il valore di x n , possiamo ricavare x n−1 dalla riga n − 1 del sistema:
1
a n−1n−1 x n−1 + a n−1n x n = b n−1 . Si ha x n−1 = (b n−1 − a n−1n x n ).
a n−1n−1
Si procede a ritroso in questo modo arrivando fino alla prima equazione che ci permette di calcolare il valore
di x 1 . Osserviamo che tutte le divisioni per i coefficienti a i i sono possibili in quanto stiamo supponendo
A non singolare e, poichè det(A) = ∏ n
i=1 a i i ≠ 0, necessariamente ciascun a i i ≠ 0.
Possiamo dunque scrivere l’algoritmo di sostituzione all’indietro:
Per i = n fino a i = 1, procedendo all’indietro con passo −1
x i =
b i − ∑ n
j =i+1 a i j x j
a i i
Un analogo algoritmo si ricava quando la matrice è triangolare inferiore. In tal caso, si parte dalla prima
equazione per ricavare x 1 e poi si va avanti nell’equazione successiva.
Si ha l’algoritmo di sostituzione in avanti:
Per i = 1 fino a i = n, procedendo in avanti con passo 1
x i =
b i − ∑ i−1
j =1 a i j x j
a i i
7.3.2 Eliminazione di Gauss: esempio particolare
Il metodo di eliminazione di Gauss trasforma il sistema di partenza in uno ad esso equivalente ma più
facile da risolvere, perchè la matrice del sistema è di forma triangolare superiore, in modo da poter applicare
il metodo di sostituzione all’indietro.
Per capire come si applica questo metodo consideriamo un semplice esempio di sistema di 3 equazioni
in 3 incognite, Ax = b dove
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
2 1 2
10
A = ⎝
4 1 2
1 2 5
⎠ b = ⎝
12
20
Le equazioni del sistema sono, dunque,
2x 1 + x 2 + 2x 3 = 10
4x 1 + x 2 + 2x 3 = 12
x 1 + 2x 2 + 5x 3 = 20
⎠
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