Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

7.2. Elementi di Algebra Lineare
Esempi
⎛
1 −2
⎞
5.3
⎛
1 0
⎞
0
U = ⎝0 3.2 −4⎠ L = ⎝ 2 −21 0 ⎠
0 0 10
−3.4 5.7 −4
Teorema 7.2.2 Date A matrice n × m, B matrice m × s, C matrice s × p, D matrice m × s, I m e I s le matrici
identità, rispettivamente di dimensione m e s, e λ e µ due numeri reali, valgono le seguenti proprietà:
G A(BC ) = (AB)C G A(B + D) = AB + AD
GI m B = B B I s = B Gλ(AB) = (λA)B = A(λB).
A questo punto, il sistema lineare (7.1) può essere scritto in forma matriciale come
Ax = b
Collegata alla soluzione di un sistema lineare è l’inversa di una matrice.
Definizione 7.2.2 Data una matrice A di dimensione n, A si dice nonsingolare (o invertibile o regolare) se
esiste una matrice, che indichiamo come A −1 di dimensione n tale che
Matrice
inversa
A A −1 = A −1 A = I
La matrice A −1 si chiama matrice inversa della A. Una matrice che non ha inversa si dice, invece, singolare (o
non invertibile).
Teorema 7.2.3 Per ogni matrice A di dimensione n nonsingolare si ha:
G A −1 è unica
G A −1 è nonsigolare e (A −1 ) −1 = A
G Se B è non singolare, di dimensione n, allora (AB) −1 = B −1 A −1
Dato il sistema Ax = b, se A è nonsingolare, si ha x = A −1 b.
Un’altra importante matrice associata ad un’assegnata matrice A è la sua trasposta.
Definizione 7.2.3 La trasposta di una matrice A di dimensione n × m è la matrice indicata con A T , di dimensione
m × n, per la quale la colonna i della trasposta coincide con la riga i della matrice A di partenza:
a T i j = a j i .
Trasposta di
una matrice
Esempio:
A =
( 1 2
) 3
2 5 6
⎛
1
⎞
2
A T = ⎝2 5⎠
3 6
Legata alla trasposta di una matrice è la seguente definizione.
Definizione 7.2.4 Una matrice quadrata si dice simmetrica se A = A T .
Esempio:
⎛
1 4
⎞
8
⎛
1 4
⎞
8
A = ⎝4 2 6⎠ A T = ⎝4 2 6⎠
8 6 5
8 6 5
Teorema 7.2.4 Valgono le seguenti proprietà (per matrici per cui è possibile eseguire le seguenti operazioni):
97