Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

7.2. Elementi di Algebra Lineare
⎛
⎞
a 11 a 12 a 13 ... a 1n
A = [ a 21 a 22 a 23 ... a 2n
] a i j = a 31 a 32 a 33 ... a 3n
⎜
⎝
.
.
. ...
⎟
. ⎠
a n1 a n2 a n3 ... a nn
Esempio
Esempio 7.2.1
A =
( 2 10
) 5
3 1 0
è una matrice 2 × 3 con elementi a 11 = 2, a 12 = 10, a 13 = 5, a 21 = 3, a 22 = 1 e a 23 = 0.
Per indicare che una matrice A ha n righe e m colonne, diremo che A ha dimensione n × m. Quando
lavoreremo con matrici quadrate di n righe e n colonne, parleremo di dimensione n della matrice per indicare
che il numero di righe è uguale al numero di colonne e vale n.
I vettori si possono vedere come un caso particolare delle matrici. Si parla di vettore riga se ci riferiamo a
una matrice 1 × n e si parla di vettore colonna se ci si riferisce a una matrice n × 1.
Per indicare un vettore colonna e un vettore riga si usa, rispettivamente, la notazione
⎛ ⎞
x 1
x 2
x =
x 3
⎜
⎝
⎟
. ⎠
x n
x = ( x 1 x 2 x 3 ... x n
)
Vettori
Vediamo, nel seguito, alcune importanti definizioni e proprietà delle matrici.
G Due matrici A e B, di dimensione n × m, sono uguali se hanno lo stesso numero di righe e di colonne,
e, inoltre, vale, a i j = b i j per i ,= 1,2,...,n e j = 1,2,...,m.
G Date due matrici A e B, entrambe n × m, si definisce la matrice somma di A e B la matrice n × m A + B
i cui elementi sono dati da a i j + b i j , per i ,= 1,2,...,n e j = 1,2,...,m.
G Se A è una matrice n ×m e λ è un numero reale, la moltiplicazione scalare di λ per A, denotata con λA,
è una matrice n × m i cui elementi sono λa i j per i ,= 1,2,...,n e j = 1,2,...,m.
G Indichiamo con O la matrice i cui elementi sono tutti uguali a zero.
G Data la matrice A, n × m, indichiamo con −A la matrice i cui elementi sono −a i j .
Teorema 7.2.1 Date A, B e C tre matrici n × m, e λ e µ due numeri reali, valgono le seguenti proprietà:
G A + B = B + A G(A + B) +C = A + (B +C )
G A +O = O + A = A G A + (−A) = −A + A = O
Gλ(A + B) = λA + λB G(λ + µ)A = λA + µA
Gλ(µA) = (λµ)A G1A = A
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