Review Problems

2
EBM: Review Problems จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์
11. จงตอบคำถามต่อไปนี้
(a) จงยกตัวอย่างสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสองที่มีจุด x = 0 เป็นจุดเอกฐานแบบปกติ
และมีจุด x = 1 เป็นจุดเอกฐานแบบไม่ปกติ
(b) จงเขียนนิพนธ์ต่อไปนี้ในรูปอนุกรมกำลังเพียงอนุกรมเดียวของพจน์ x n
∞∑
∞∑
n(n−1)c n x n−2 + c n x n+1
n=2
n=0
12. จงหารัศมีของการลู่เข้าของอนุกรมกำลัง
และลู่ออก
∞∑ (−1) n n 2 (x+2) n
n=1
3 n พร้อมทั้งหาช่วงของการลู่เข้า
13. จงหาผลเฉลยที่เป็นอนุกรมกำลังรอบจุด x = 0 ของสมการ
y ′′ −(x+1)y ′ −y = 0
โดยให้เขียนแสดงแต่ละอนุกรมในผลเฉลยอย่างน้อย 4 พจน์
(
+···) (
+···)
คำตอบ y(x) = C 0 1+ x2
2 + x3
6 + x4
+C 1 x+ x2
6 2 + x3
2 + x4
4
14. จงหาจุดเอกฐานของสมการ
x(1−x 2 ) 3 y ′′ +(1−x 2 ) 2 y ′ +2(1+x)y = 0
พร้อมทั้งพิจารณาว่าจุดดังกล่าวเป็นจุดเอกฐานแบบปกติหรือจุดเอกฐานแบบไม่ปกติ
คำตอบ x = −1 และ x = 0 เป็นจุดเอกฐานแบบปกติ x = 1 เป็นจุดเอกฐานแบบไม่ปกติ
15. จงหาผลเฉลยอนุกรมของสมการต่อไปนี้รอบจุด x = 0
2xy ′′ −(3+2x)y ′ +y = 0
โดยให้เขียนแสดงแต่ละอนุกรมในผลเฉลยอย่างน้อย 4 พจน์
(
คำตอบ y(x) = C 1 x 5/2 1+ 4x +···) (
7 + 4x2
21 + 32x3 +C 2 1+ x +···)
693 3 − x2
6 − x3
6
16. จงหาผลเฉลยอนุกรมของสมการต่อไปนี้รอบจุด x = 0
2x 2 y ′′ −xy ′ +(1+x)y = 0
โดยให้เขียนแสดงแต่ละอนุกรมในผลเฉลยอย่างน้อย 4 พจน์
คำตอบ y(x) = C 1 x
(1− x +···) ( )
3 + x2
30 − x3
+C 2 x 1/2 1−x+ x2
630 6 − x3
90 +...