Review Problems

EBM: Review Problems จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์
Review Problems
1. จงตอบคำถามต่อไปนี้
(a) กำหนดให้รากของสมการลักษณะเฉพาะของสมการโคชี-ออย์เลอร์คือ 0, 0, 0,
−3, 1±2i, 1±2i จงเขียนผลเฉลยทั่วไปของสมการโคชี-ออย์เลอร์นี้
(b) จงหาผลเฉลยของปัญหาค่าเริ่มต้นต่อไปนี้
4x 2 y ′′ +8xy ′ +17y = 0, y(1) = 2, y ′ (1) = −3
2. จงใช้วิธีการเทียบสัมประสิทธิ์หาผลเฉลยทั่วไปของสมการ y ′′′ +2y ′′ −y ′ −2y = e x +x 2
คำตอบ y(x) = c 1 e x +c 2 e −x +c 3 e −2x − 1 2 x2 + 1 2 x− 5 4 + 1 6 xex
3. จงใช้วิธีการเทียบสัมประสิทธิ์หาผลเฉลยเฉพาะของสมการ y ′′′ +y ′′ = x+e −x
คำตอบ y p (x) = 1 6 x3 − 1 2 x2 +xe −x
4. จงใช้วิธีการแปรผันพารามิเตอร์หาผลเฉลยเฉพาะของสมการ y ′′′ −y ′′ −y ′ +y = e x
คำตอบ y p (x) = ex 8 − xex
4 + x2 e x
2
5. จงใช้วิธีการแปรผันพารามิเตอร์หาผลเฉลยของสมการ y ′′′ −2y ′′ +y ′ = e 2x
คำตอบ y(x) = c 1 +c 2 e x +c 3 xe x + e2x
2
6. จงหาผลเฉลยของสมการ x 3 y ′′′ −2xy ′ +4y = 0
คำตอบ y(x) = c 1 x −1 +c 2 x 2 +c 3 x 2 lnx
7. จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการ x 3 y ′′′ +5x 2 y ′′ +7xy ′ +8y = 0
คำตอบ y(x) = c 1 x −2 +c 2 cos(2lnx)+c 3 sin(2lnx)
8. จงหาผลเฉลยของสมการ x 3 y ′′′ +2x 2 y ′′ +4xy ′ −4y = 0
คำตอบ y(x) = c 1 x+c 2 cos(2lnx)+c 3 sin(2lnx)
9. จงใช้วิธีการแปรผันพารามิเตอร์หาผลเฉลยของสมการ
x 3 y ′′′ +x 2 y ′′ −2xy ′ +2y = xlnx
คำตอบ y(x) = c 1 x −1 +c 2 x+c 3 x 2 − xlnx
4
− 3x 8 − x(lnx)2
4
10. กำหนดให้ y 1 (x) = x, y 2 (x) = x 2 และ y 3 (x) = x 3 เป็นผลเฉลยที่เป็นอิสระเชิงเส้นของสมการ
เอกพันธ์ที่สมนัยกับสมการ
จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการที่กำหนดให้
x 3 y ′′′ −3x 2 y ′′ +6xy ′ −6y = 2, x > 0
คำตอบ y p (x) = − 1 3
1

2
EBM: Review Problems จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์
11. จงตอบคำถามต่อไปนี้
(a) จงยกตัวอย่างสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสองที่มีจุด x = 0 เป็นจุดเอกฐานแบบปกติ
และมีจุด x = 1 เป็นจุดเอกฐานแบบไม่ปกติ
(b) จงเขียนนิพนธ์ต่อไปนี้ในรูปอนุกรมกำลังเพียงอนุกรมเดียวของพจน์ x n
∞∑
∞∑
n(n−1)c n x n−2 + c n x n+1
n=2
n=0
12. จงหารัศมีของการลู่เข้าของอนุกรมกำลัง
และลู่ออก
∞∑ (−1) n n 2 (x+2) n
n=1
3 n พร้อมทั้งหาช่วงของการลู่เข้า
13. จงหาผลเฉลยที่เป็นอนุกรมกำลังรอบจุด x = 0 ของสมการ
y ′′ −(x+1)y ′ −y = 0
โดยให้เขียนแสดงแต่ละอนุกรมในผลเฉลยอย่างน้อย 4 พจน์
(
+···) (
+···)
คำตอบ y(x) = C 0 1+ x2
2 + x3
6 + x4
+C 1 x+ x2
6 2 + x3
2 + x4
4
14. จงหาจุดเอกฐานของสมการ
x(1−x 2 ) 3 y ′′ +(1−x 2 ) 2 y ′ +2(1+x)y = 0
พร้อมทั้งพิจารณาว่าจุดดังกล่าวเป็นจุดเอกฐานแบบปกติหรือจุดเอกฐานแบบไม่ปกติ
คำตอบ x = −1 และ x = 0 เป็นจุดเอกฐานแบบปกติ x = 1 เป็นจุดเอกฐานแบบไม่ปกติ
15. จงหาผลเฉลยอนุกรมของสมการต่อไปนี้รอบจุด x = 0
2xy ′′ −(3+2x)y ′ +y = 0
โดยให้เขียนแสดงแต่ละอนุกรมในผลเฉลยอย่างน้อย 4 พจน์
(
คำตอบ y(x) = C 1 x 5/2 1+ 4x +···) (
7 + 4x2
21 + 32x3 +C 2 1+ x +···)
693 3 − x2
6 − x3
6
16. จงหาผลเฉลยอนุกรมของสมการต่อไปนี้รอบจุด x = 0
2x 2 y ′′ −xy ′ +(1+x)y = 0
โดยให้เขียนแสดงแต่ละอนุกรมในผลเฉลยอย่างน้อย 4 พจน์
คำตอบ y(x) = C 1 x
(1− x +···) ( )
3 + x2
30 − x3
+C 2 x 1/2 1−x+ x2
630 6 − x3
90 +...

3
EBM: Review Problems จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์
17. จงตอบคำถามต่อไปนี้
(a) จงหาค่าของ Γ(5)+Γ ( )
9
2
(b) จงหาผลการแปลงลาปลาซของฟังก์ชัน f(t) = sin3tcos3t
(c) จงหาผลการแปลงลาปลาซของฟังก์ชัน f(t) = (1−e 2t ) 2
{ }
−2s+6
18. จงหา L −1 s 2 +4 + s−3
s 2 +4s+6
คำตอบ −2cos2t+3sin2t+e −2t cos √ 2t− 5 √
2
sin √ 2t
{ }
5−2s
19. จงหา L −1 2
3
+
s 4 s 2 −4s+5 + 1
s(s 2 +1)
คำตอบ 5 6 t3 −2t+e 2t sint+1−cost
20. จงหาผลเฉลยของปัญหาค่าเริ่มต้นต่อไปนี้ โดยใช้ผลการแปลงลาปลาซ
คำตอบ 1 2 − 1 2 et cost+ 1 2 et sint
y ′′ −y ′ = e t cost; y(0) = y ′ (0) = 0
21. จงหาผลเฉลยของปัญหาค่าเริ่มต้นต่อไปนี้ โดยใช้การแปลงลาปลาซ
y ′′ +5y ′ +4y = 0; y(0) = 1, y ′ (0) = 0
คำตอบ 4 3 e−t − 1 3 e−4t
22. จงใช้การแปลงลาปลาซหาผลเฉลยของปัญหาค่าเริ่มต้นต่อไปนี้
y ′′ +4y ′ +8y = e −t ; y(0) = 0, y ′ (0) = 0
คำตอบ 1 5 e−t − 2 5 e−2t cos2t+ 1 10 e−2t sin2t
{∫ t
}
23. จงหา L (t−τ) 2 cos2τ dτ
0
2
คำตอบ
s 2 (s 2 +4)
{
24. จงหาผลการแปลงลาปลาซผกผัน L −1
คำตอบ 1 4 (sin2t+2tcos2t)
}
s 2
(s 2 +4) 2
{ }
25. จงหาผลการแปลงลาปลาซผกผัน L −1 1
s 2 (s−1)
คำตอบ e t −t−1
โดยใช้สังวัตนาการ
โดยใช้สังวัตนาการ

4
EBM: Review Problems จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์
26. จงหาผลการแปลงฟูเรียร์ของฟังก์ชันต่อไปนี้ โดยใช้บทนิยาม
{
e −x ถ้า x > 0
f(x) =
0 ถ้า x < 0
คำตอบ F (f) =
1
√
2π(1+iw)
27. จงหาผลการแปลงฟูเรียร์ของฟังก์ชันต่อไปนี้ โดยใช้บทนิยาม
{
e x ถ้า x ∈ (−1,1)
f(x) =
0 ถ้า x /∈ (−1,1)
คำตอบ F(f) = e(1−iw) −e (−1+iw)
(1−iw) √ 2π
28. จงหาผลการแปลงฟูเรียร์ของฟังก์ชันต่อไปนี้ โดยใช้บทนิยาม
{
e 2ix ถ้า x ∈ (−1,1)
f(x) =
0 ถ้า x /∈ (−1,1)
คำตอบ F(f) = e(2−w)i −e (w−2)i
√
2π(2−w)i
29. จงพิจารณาว่าสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยต่อไปนี้เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเชิงเส้น หรือสมการ
เชิงอนุพันธ์ย่อยไม่เชิงเส้น พร้อมทั้งบอกอันดับของสมการด้วย
(a) x ∂2 u
∂x 2 −3 ∂2 u
∂x∂y +y∂2 u
∂y 2 = 5u
(b) x 4 ∂4 w
∂x 4 − ∂2 w
∂z∂u +u3∂3 w
∂u 3 −x∂w ∂x = 3w
30. จงใช้การแปลงฟูเรียร์หาผลเฉลยของสมการคลื่น
โดยมีเงื่อนไข
u tt (x,t) = c 2 u xx (x,t) (−∞ < x < ∞, t > 0)
u(x,0) = f(x), u t (x,0) = g(x) (−∞ < x < ∞)
เมื่อ f และ g เป็นฟังก์ชันที่มีผลการแปลงฟูเรียร์
คำตอบ u(x,t) = 1 √
2π
∫ ∞
−∞
[
̂f(w)coscwt+ 1
cw ĝ(w)sincwt ]
·e iwx dw