LABORATORIO DIDATTICO DI GEOMETRIA Esercizi: FOGLIO 3
LABORATORIO DIDATTICO DI GEOMETRIA Esercizi: FOGLIO 3
LABORATORIO DIDATTICO DI GEOMETRIA Esercizi: FOGLIO 3
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Paola Gramaglia<br />
<strong>LABORATORIO</strong> <strong><strong>DI</strong>DATTICO</strong> <strong>DI</strong> <strong>GEOMETRIA</strong><br />
<strong>Esercizi</strong>: <strong>FOGLIO</strong> 3<br />
ESERCIZIO 1<br />
Dimostrare che l’asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti equidistanti dagli estremi<br />
del segmento stesso.<br />
I prerequisiti per lo svolgimento di questo esercizio sono la definizione di asse di un segmento e il<br />
concetto di luogo geometrico.<br />
• L’asse di un segmento è la retta perpendicolare al segmento e passante per il suo punto<br />
medio.<br />
• Per luogo geometrico si intende, invece, l’insieme di tutti e soli i punti del piano che godono<br />
di una certa specificata proprietà. La definizione di luogo geometrico non è particolarmente<br />
semplice da capire ed è secondo me importante che subito, data questa definizione,<br />
l’insegnante insista sul fatto che per provare che una figura, o una retta, è un luogo di punti<br />
occorre dimostrare sia che tutti i suoi punti godono della proprietà detta, sia che questi punti<br />
sono i soli ad avere quella caratteristica, ossia che se un punto ha la proprietà indicata, allora<br />
deve appartenere a quella figura, o a quella retta.<br />
La dimostrazione richiesta in questo esercizio presenta quindi la difficoltà di dover effettuare la<br />
doppia verifica richiesta per i luoghi geometrici. Inoltre quello dell’asse di un segmento è<br />
generalmente il primo luogo geometrico che viene presentato agli studenti: è quindi senz’altro<br />
necessario che la dimostrazione richiesta in questo esercizio sia svolta in classe e illustrata<br />
dall’insegnante.<br />
Per quanto osservato sopra direi che è più chiaro distinguere nella dimostrazione due parti.<br />
1. Dimostrare che tutti i punti dell’asse di un segmento sono equidistanti dagli estremi del<br />
segmento stesso, ossia che, preso un qualsiasi punto sull’asse, la sua distanza dai due<br />
estremi del segmento è la stessa.<br />
2. Dimostrare che i punti dell’asse del segmento sono gli unici punti del piano a godere della<br />
proprietà di essere equidistanti dagli estremi del segmento, ossia dimostrare che se un punto<br />
è equidistante dagli estremi di un segmento, allora appartiene all’asse di quel segmento.<br />
Parte 1<br />
Ipotesi.<br />
• a è l’asse del segmento AB<br />
• P∈a<br />
⎪⎧<br />
AM = MB<br />
⇒ ⎨<br />
⎪⎩ a ⊥ AB<br />
Tesi.<br />
• PA = PB<br />
1
Svolgimento.<br />
È facile osservare che i due triangoli PMA e PMB sono congruenti, per il primo criterio di<br />
congruenza dei triangoli. Infatti:<br />
o AM = MB , per ipotesi, dal momento che l’asse di un segmento, per definizione, passa per il<br />
punto medio del segmento stesso,<br />
o P Mˆ A = PMˆ B , poiché sono due angoli retti, visto che l’asse è, per definizione,<br />
perpendicolare al segmento,<br />
o PM è comune ai due triangoli.<br />
Dalla congruenza dei due triangoli indicati, segue che PA = PB , che era proprio la tesi che si<br />
voleva dimostrare.<br />
c.v.d.<br />
Parte 2<br />
Ipotesi.<br />
• PA = PB<br />
Tesi.<br />
• P è un punto dell’asse del segmento AB<br />
Svolgimento.<br />
P è un punto qualsiasi del piano per cui si sa per ipotesi che PA = PB . Allora se si considera il<br />
triangolo APB, si vede subito che questo triangolo è isoscele.<br />
Tracciamo la bisettrice dell’angolo al vertice A Pˆ B : questa interseca il segmento ABin un punto M,<br />
come mostra la seguente figura. Osserviamo che, per il teorema di esistenza e unicità della bisettrice<br />
di un angolo, questa costruzione è sempre lecita.<br />
A questo punto si può ricordare il teorema che afferma che, in un triangolo isoscele, la bisettrice<br />
dell’angolo al vertice è perpendicolare alla base e la divide a metà. In questo caso, allora, il teorema<br />
dice che PM ⊥ AB e AM = MB : allora la retta passante per P e per M che è stata costruita è l’asse<br />
del segmento AB e si può così concludere che P è un punto dell’asse di AB.<br />
c.v.d.<br />
2
Osservazione.<br />
Anche senza ricordarsi del teorema sopra riportato, relativo ai triangoli isosceli, si arriva<br />
semplicemente allo stesso risultato osservando la congruenza, per il primo criterio, dei due triangoli<br />
PMA e PMB:<br />
o PA = PB , per ipotesi,<br />
o M PˆA = MPˆ B , per costruzione, essendo PM la bisettrice dell’angolo A Pˆ B ,<br />
o PM è comune ai due triangoli.<br />
Allora AM = MB e i due angoli P Mˆ A e P Mˆ B sono uguali e supplementari, quindi sono retti,<br />
ossia PM ⊥ AB . La retta per PM coincide con l’asse del segmento AB.<br />
ESERCIZIO 14<br />
Dimostrare che le diagonali di un rettangolo sono uguali e viceversa, ossia dimostrare che se<br />
in un parallelogramma le due diagonali sono uguali esso è un rettangolo.<br />
I prerequisiti per lo svolgimento di questo esercizio sono i seguenti.<br />
• La definizione di parallelogrammo: un parallelogrammo è un quadrilatero avente i lati<br />
opposti paralleli.<br />
• Le proprietà dei parallelogrammi, in particolare:<br />
in ogni parallelogrammo i lati opposti sono uguali,<br />
in ogni parallelogrammo gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari,<br />
in ogni parallelogrammo gli angoli opposti sono uguali.<br />
• La definizione di rettangolo: un rettangolo è un parallelogrammo avente tutti i quattro angoli<br />
uguali, e quindi retti.<br />
La dimostrazione richiesta in questo esercizio è importante per definire le proprietà dei rettangoli e<br />
deve quindi essere affrontata in classe.<br />
Dividiamo la dimostrazione in due parti.<br />
1. Dimostrare che in un rettangolo le diagonali sono uguali.<br />
2. Dimostrare che un parallelogrammo avente le diagonali uguali è un rettangolo.<br />
Parte 1<br />
Ipotesi.<br />
• ABCD è un rettangolo<br />
Tesi.<br />
• BD = AC<br />
Svolgimento.<br />
Si osserva che i due triangoli DAB e ABC, individuati dalle diagonali del rettangolo, sono<br />
congruenti. Infatti:<br />
o AD = BC , perché il rettangolo, essendo un particolare parallelogrammo, gode della<br />
proprietà dei parallelogrammi di avere i lati opposti uguali,<br />
o D ÂB = CBˆ A , perché, per definizione, il rettangolo ha gli angoli uguali,<br />
o AB è comune ai due triangoli.<br />
3
Per il primo criterio di congruenza i due triangoli detti sono uguali: quindi anche<br />
Parte 2<br />
Ipotesi.<br />
• ABCD è un parallelogrammo<br />
• BD = AC<br />
Tesi.<br />
• ABCD è un rettangolo: ha i quattro angoli uguali<br />
BD = AC .<br />
c.v.d.<br />
Svolgimento.<br />
I triangoli DAB e ABC sono congruenti per il terzo criterio di congruenza dei triangoli perché<br />
hanno i lati ordinatamente congruenti. Infatti:<br />
o AD = BC , perché nei parallelogrammi i lati opposti sono uguali,<br />
o il lato AB è comune ai due triangoli,<br />
o DB = AC, per ipotesi, dato che si suppone che le diagonali del parallelogrammo siano<br />
uguali.<br />
Allora i due angoli D ÂB<br />
e C Bˆ A sono uguali. Inoltre, essendo ABCD un parallelogrammo, si ha<br />
che gli angoli adiacenti ad un lato sono supplementari. Quindi D ÂB = CBˆ A e sono due angoli<br />
supplementari, perché adiacenti ad AB : allora D ÂB<br />
e C Bˆ A sono due angoli retti.<br />
In un parallelogrammo vale anche la proprietà che gli angoli opposti sono uguali: allora anche gli<br />
angoli A Dˆ C , uguale a C Bˆ A , e D ĈB, uguale a D ÂB<br />
, sono retti.<br />
ABCD è un parallelogrammo che ha tutti gli angoli uguali, e retti: quindi è un rettangolo.<br />
c.v.d.<br />
ESERCIZIO in più<br />
Trovare il luogo geometrico dei punti di intersezione delle diagonali dei rettangoli in cui il lato<br />
AB è fisso.<br />
Propongo questo esercizio perché mi sembra abbastanza interessante per verificare le conoscenze<br />
acquisite relativamente ai luoghi geometrici e alle proprietà dei rettangoli.<br />
I prerequisiti fondamentali sono quindi proprio la definizione di luogo geometrico e le definizioni e<br />
le proprietà di parallelogrammi e rettangoli; in più si farà ricorso a teoremi che si suppone siano<br />
ormai entrati a far parte del bagaglio di conoscenze degli studenti, come ad esempio il teorema sulla<br />
somma degli angoli interni di un triangolo.<br />
Questo esercizio non è particolarmente semplice e richiede, innanzi tutto, di capire quale sia il<br />
luogo geometrico richiesto. Per far questo, oltre al ragionare con carta e penna, si può consigliare<br />
agli studenti di usare gli strumenti offerti da Cabri.<br />
In modo particolare, disegnato un rettangolo di base fissa AB e individuato il punto P di<br />
intersezione delle sue diagonali, utilizzando la funzione “Traccia”, si può far disegnare al<br />
programma la traccia del punto P al variare della lunghezza dei lati del rettangolo non fissi: la retta<br />
che viene segnata sulla figura è proprio il luogo geometrico richiesto, ed è facile capire che è l’asse<br />
del segmento AB.<br />
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A questo punto, si deve dimostrare rigorosamente quanto è stato visto intuitivamente. Come già<br />
osservato nell’esercizio 1, per provare che una data figura, in questo caso una retta, è un luogo<br />
geometrico occorre fare un doppia dimostrazione, ed è allora opportuno dividere l’esercizio in due<br />
parti.<br />
1. Dimostrare che tutti i punti dell’asse di AB sono punti di intersezione delle diagonali di un<br />
rettangolo di base AB, opportunamente scelto; ossia dimostrare che, preso un punto P<br />
qualsiasi sull’asse di AB, è possibile costruire un rettangolo di base AB le cui diagonali si<br />
intersecano in P.<br />
2. Dimostrare che i punti dell’asse di ABsono i soli a godere della proprietà di essere punti di<br />
intersezione delle diagonali dei rettangoli di base AB fissata; ossia dimostrare che, se P è il<br />
punto d’intersezione delle diagonali di un rettangolo avente come base il segmento AB,<br />
allora P appartiene all’asse di AB.<br />
Parte 1<br />
Ipotesi.<br />
• a è l’asse del segmento AB<br />
• P∈a<br />
⎪⎧<br />
AM = MB<br />
⇒ ⎨<br />
⎪⎩ a ⊥ AB<br />
Tesi.<br />
• Esiste un rettangolo tale che P è il punto di intersezione delle sue diagonali<br />
Svolgimento.<br />
Si può procedere cercando inizialmente di costruire un quadrilatero opportuno per cui P sia il punto<br />
di intersezione delle diagonali e dimostrando poi che questo è un rettangolo.<br />
Si tracciano, a partire dai punti A e B due semirette: quelle perpendicolari al segmento AB e quelle<br />
passanti per P; si indicano con C e D, come è stato fatto in figura, i punti di intersezione di tali<br />
semirette. Congiungendo C con D, si ottiene un quadrilatero le cui diagonali si incontrano in P. La<br />
tesi del problema è quindi ora di dimostrare che ABCD è un rettangolo.<br />
Si osserva, innanzi tutto, che PA = PB : P è un punto dell’asse di AB e quindi è equidistante dagli<br />
estremi del segmento.<br />
Allora il triangolo APB è isoscele sulla base AB e P ÂB = PBˆ A .<br />
5
Considerando i due triangoli DAB e CBA, si hanno allora queste relazioni:<br />
o D ÂB = CBˆ A , perché, per costruzione, le rette per DA e per CB sono perpendicolari ad<br />
AB,<br />
o AB è comune ai due triangoli,<br />
o D Bˆ A = CÂB<br />
, per quanto osservato prima.<br />
Allora i due triangoli sono congruenti per il secondo criterio di congruenza, e in particolare si ha:<br />
• DB = AC,<br />
• A Dˆ B = BĈA<br />
.<br />
Procedendo, si osserva che nel triangolo DAB, la somma degli angoli interni è pari ad un angolo<br />
piatto e, poiché D ÂB<br />
è retto per costruzione, si ha che A Dˆ B + DBˆ A deve essere pari ad un angolo<br />
retto. Poiché, inoltre, D Bˆ A = CÂB<br />
e D ÂC + CÂB<br />
è un angolo retto per costruzione, segue che<br />
A Dˆ B = DÂC .<br />
Allora il triangolo APD ha gli angoli alla base uguali ed è quindi isoscele: segue che PD = PA .<br />
Analogamente si dimostra che anche PC = PB ; e in conclusione: PA = PB = PC = PD .<br />
Nella figura riportata qui di seguito sono riportate tutte le uguaglianze fra angoli e segmenti ricavate<br />
con i precedenti ragionamenti.<br />
Abbiamo provato che PD = PB e PA = PC , ossia che le diagonali del quadrilatero ABCD si<br />
tagliano scambievolmente a metà: allora ABCD è un parallelogrammo.<br />
Inoltre DB = AC, come già è stato provato: allora ABCD è un parallelogrammo che ha le diagonali<br />
uguali, ossia è un rettangolo.<br />
c.v.d.<br />
Parte 2<br />
Ipotesi.<br />
• ABCD è un rettangolo<br />
• P è il punto di intersezione delle diagonali<br />
Tesi.<br />
• P appartiene all’asse del segmento AB<br />
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Svolgimento.<br />
Per ipotesi ABCD è un rettangolo quindi le sue diagonali sono uguali: AC = DB. Inoltre, essendo<br />
un particolare parallelogrammo, le diagonali di ABCD incontrandosi dimezzano: allora PA = PB ,<br />
perché sono metà di segmenti congruenti.<br />
Dire che PA = PB significa dire che P è equidistante dagli estremi del segmento AB e cioè che P<br />
appartiene all’asse di AB, dal momento che l’asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti<br />
equidistanti dagli estremi del segmento stesso: abbiamo quindi provato la tesi del teorema.<br />
c.v.d.<br />
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