LABORATORIO DIDATTICO DI GEOMETRIA Esercizi: FOGLIO 3

Paola Gramaglia
LABORATORIO DIDATTICO DI GEOMETRIA
Esercizi: FOGLIO 3
ESERCIZIO 1
Dimostrare che l’asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti equidistanti dagli estremi
del segmento stesso.
I prerequisiti per lo svolgimento di questo esercizio sono la definizione di asse di un segmento e il
concetto di luogo geometrico.
• L’asse di un segmento è la retta perpendicolare al segmento e passante per il suo punto
medio.
• Per luogo geometrico si intende, invece, l’insieme di tutti e soli i punti del piano che godono
di una certa specificata proprietà. La definizione di luogo geometrico non è particolarmente
semplice da capire ed è secondo me importante che subito, data questa definizione,
l’insegnante insista sul fatto che per provare che una figura, o una retta, è un luogo di punti
occorre dimostrare sia che tutti i suoi punti godono della proprietà detta, sia che questi punti
sono i soli ad avere quella caratteristica, ossia che se un punto ha la proprietà indicata, allora
deve appartenere a quella figura, o a quella retta.
La dimostrazione richiesta in questo esercizio presenta quindi la difficoltà di dover effettuare la
doppia verifica richiesta per i luoghi geometrici. Inoltre quello dell’asse di un segmento è
generalmente il primo luogo geometrico che viene presentato agli studenti: è quindi senz’altro
necessario che la dimostrazione richiesta in questo esercizio sia svolta in classe e illustrata
dall’insegnante.
Per quanto osservato sopra direi che è più chiaro distinguere nella dimostrazione due parti.
1. Dimostrare che tutti i punti dell’asse di un segmento sono equidistanti dagli estremi del
segmento stesso, ossia che, preso un qualsiasi punto sull’asse, la sua distanza dai due
estremi del segmento è la stessa.
2. Dimostrare che i punti dell’asse del segmento sono gli unici punti del piano a godere della
proprietà di essere equidistanti dagli estremi del segmento, ossia dimostrare che se un punto
è equidistante dagli estremi di un segmento, allora appartiene all’asse di quel segmento.
Parte 1
Ipotesi.
• a è l’asse del segmento AB
• P∈a
⎪⎧
AM = MB
⇒ ⎨
⎪⎩ a ⊥ AB
Tesi.
• PA = PB
1

Svolgimento.
È facile osservare che i due triangoli PMA e PMB sono congruenti, per il primo criterio di
congruenza dei triangoli. Infatti:
o AM = MB , per ipotesi, dal momento che l’asse di un segmento, per definizione, passa per il
punto medio del segmento stesso,
o P Mˆ A = PMˆ B , poiché sono due angoli retti, visto che l’asse è, per definizione,
perpendicolare al segmento,
o PM è comune ai due triangoli.
Dalla congruenza dei due triangoli indicati, segue che PA = PB , che era proprio la tesi che si
voleva dimostrare.
c.v.d.
Parte 2
Ipotesi.
• PA = PB
Tesi.
• P è un punto dell’asse del segmento AB
Svolgimento.
P è un punto qualsiasi del piano per cui si sa per ipotesi che PA = PB . Allora se si considera il
triangolo APB, si vede subito che questo triangolo è isoscele.
Tracciamo la bisettrice dell’angolo al vertice A Pˆ B : questa interseca il segmento ABin un punto M,
come mostra la seguente figura. Osserviamo che, per il teorema di esistenza e unicità della bisettrice
di un angolo, questa costruzione è sempre lecita.
A questo punto si può ricordare il teorema che afferma che, in un triangolo isoscele, la bisettrice
dell’angolo al vertice è perpendicolare alla base e la divide a metà. In questo caso, allora, il teorema
dice che PM ⊥ AB e AM = MB : allora la retta passante per P e per M che è stata costruita è l’asse
del segmento AB e si può così concludere che P è un punto dell’asse di AB.
c.v.d.
2

Osservazione.
Anche senza ricordarsi del teorema sopra riportato, relativo ai triangoli isosceli, si arriva
semplicemente allo stesso risultato osservando la congruenza, per il primo criterio, dei due triangoli
PMA e PMB:
o PA = PB , per ipotesi,
o M PˆA = MPˆ B , per costruzione, essendo PM la bisettrice dell’angolo A Pˆ B ,
o PM è comune ai due triangoli.
Allora AM = MB e i due angoli P Mˆ A e P Mˆ B sono uguali e supplementari, quindi sono retti,
ossia PM ⊥ AB . La retta per PM coincide con l’asse del segmento AB.
ESERCIZIO 14
Dimostrare che le diagonali di un rettangolo sono uguali e viceversa, ossia dimostrare che se
in un parallelogramma le due diagonali sono uguali esso è un rettangolo.
I prerequisiti per lo svolgimento di questo esercizio sono i seguenti.
• La definizione di parallelogrammo: un parallelogrammo è un quadrilatero avente i lati
opposti paralleli.
• Le proprietà dei parallelogrammi, in particolare:
in ogni parallelogrammo i lati opposti sono uguali,
in ogni parallelogrammo gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari,
in ogni parallelogrammo gli angoli opposti sono uguali.
• La definizione di rettangolo: un rettangolo è un parallelogrammo avente tutti i quattro angoli
uguali, e quindi retti.
La dimostrazione richiesta in questo esercizio è importante per definire le proprietà dei rettangoli e
deve quindi essere affrontata in classe.
Dividiamo la dimostrazione in due parti.
1. Dimostrare che in un rettangolo le diagonali sono uguali.
2. Dimostrare che un parallelogrammo avente le diagonali uguali è un rettangolo.
Parte 1
Ipotesi.
• ABCD è un rettangolo
Tesi.
• BD = AC
Svolgimento.
Si osserva che i due triangoli DAB e ABC, individuati dalle diagonali del rettangolo, sono
congruenti. Infatti:
o AD = BC , perché il rettangolo, essendo un particolare parallelogrammo, gode della
proprietà dei parallelogrammi di avere i lati opposti uguali,
o D ÂB = CBˆ A , perché, per definizione, il rettangolo ha gli angoli uguali,
o AB è comune ai due triangoli.
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Per il primo criterio di congruenza i due triangoli detti sono uguali: quindi anche
Parte 2
Ipotesi.
• ABCD è un parallelogrammo
• BD = AC
Tesi.
• ABCD è un rettangolo: ha i quattro angoli uguali
BD = AC .
c.v.d.
Svolgimento.
I triangoli DAB e ABC sono congruenti per il terzo criterio di congruenza dei triangoli perché
hanno i lati ordinatamente congruenti. Infatti:
o AD = BC , perché nei parallelogrammi i lati opposti sono uguali,
o il lato AB è comune ai due triangoli,
o DB = AC, per ipotesi, dato che si suppone che le diagonali del parallelogrammo siano
uguali.
Allora i due angoli D ÂB
e C Bˆ A sono uguali. Inoltre, essendo ABCD un parallelogrammo, si ha
che gli angoli adiacenti ad un lato sono supplementari. Quindi D ÂB = CBˆ A e sono due angoli
supplementari, perché adiacenti ad AB : allora D ÂB
e C Bˆ A sono due angoli retti.
In un parallelogrammo vale anche la proprietà che gli angoli opposti sono uguali: allora anche gli
angoli A Dˆ C , uguale a C Bˆ A , e D ĈB, uguale a D ÂB
, sono retti.
ABCD è un parallelogrammo che ha tutti gli angoli uguali, e retti: quindi è un rettangolo.
c.v.d.
ESERCIZIO in più
Trovare il luogo geometrico dei punti di intersezione delle diagonali dei rettangoli in cui il lato
AB è fisso.
Propongo questo esercizio perché mi sembra abbastanza interessante per verificare le conoscenze
acquisite relativamente ai luoghi geometrici e alle proprietà dei rettangoli.
I prerequisiti fondamentali sono quindi proprio la definizione di luogo geometrico e le definizioni e
le proprietà di parallelogrammi e rettangoli; in più si farà ricorso a teoremi che si suppone siano
ormai entrati a far parte del bagaglio di conoscenze degli studenti, come ad esempio il teorema sulla
somma degli angoli interni di un triangolo.
Questo esercizio non è particolarmente semplice e richiede, innanzi tutto, di capire quale sia il
luogo geometrico richiesto. Per far questo, oltre al ragionare con carta e penna, si può consigliare
agli studenti di usare gli strumenti offerti da Cabri.
In modo particolare, disegnato un rettangolo di base fissa AB e individuato il punto P di
intersezione delle sue diagonali, utilizzando la funzione “Traccia”, si può far disegnare al
programma la traccia del punto P al variare della lunghezza dei lati del rettangolo non fissi: la retta
che viene segnata sulla figura è proprio il luogo geometrico richiesto, ed è facile capire che è l’asse
del segmento AB.
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A questo punto, si deve dimostrare rigorosamente quanto è stato visto intuitivamente. Come già
osservato nell’esercizio 1, per provare che una data figura, in questo caso una retta, è un luogo
geometrico occorre fare un doppia dimostrazione, ed è allora opportuno dividere l’esercizio in due
parti.
1. Dimostrare che tutti i punti dell’asse di AB sono punti di intersezione delle diagonali di un
rettangolo di base AB, opportunamente scelto; ossia dimostrare che, preso un punto P
qualsiasi sull’asse di AB, è possibile costruire un rettangolo di base AB le cui diagonali si
intersecano in P.
2. Dimostrare che i punti dell’asse di ABsono i soli a godere della proprietà di essere punti di
intersezione delle diagonali dei rettangoli di base AB fissata; ossia dimostrare che, se P è il
punto d’intersezione delle diagonali di un rettangolo avente come base il segmento AB,
allora P appartiene all’asse di AB.
Parte 1
Ipotesi.
• a è l’asse del segmento AB
• P∈a
⎪⎧
AM = MB
⇒ ⎨
⎪⎩ a ⊥ AB
Tesi.
• Esiste un rettangolo tale che P è il punto di intersezione delle sue diagonali
Svolgimento.
Si può procedere cercando inizialmente di costruire un quadrilatero opportuno per cui P sia il punto
di intersezione delle diagonali e dimostrando poi che questo è un rettangolo.
Si tracciano, a partire dai punti A e B due semirette: quelle perpendicolari al segmento AB e quelle
passanti per P; si indicano con C e D, come è stato fatto in figura, i punti di intersezione di tali
semirette. Congiungendo C con D, si ottiene un quadrilatero le cui diagonali si incontrano in P. La
tesi del problema è quindi ora di dimostrare che ABCD è un rettangolo.
Si osserva, innanzi tutto, che PA = PB : P è un punto dell’asse di AB e quindi è equidistante dagli
estremi del segmento.
Allora il triangolo APB è isoscele sulla base AB e P ÂB = PBˆ A .
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Considerando i due triangoli DAB e CBA, si hanno allora queste relazioni:
o D ÂB = CBˆ A , perché, per costruzione, le rette per DA e per CB sono perpendicolari ad
AB,
o AB è comune ai due triangoli,
o D Bˆ A = CÂB
, per quanto osservato prima.
Allora i due triangoli sono congruenti per il secondo criterio di congruenza, e in particolare si ha:
• DB = AC,
• A Dˆ B = BĈA
.
Procedendo, si osserva che nel triangolo DAB, la somma degli angoli interni è pari ad un angolo
piatto e, poiché D ÂB
è retto per costruzione, si ha che A Dˆ B + DBˆ A deve essere pari ad un angolo
retto. Poiché, inoltre, D Bˆ A = CÂB
e D ÂC + CÂB
è un angolo retto per costruzione, segue che
A Dˆ B = DÂC .
Allora il triangolo APD ha gli angoli alla base uguali ed è quindi isoscele: segue che PD = PA .
Analogamente si dimostra che anche PC = PB ; e in conclusione: PA = PB = PC = PD .
Nella figura riportata qui di seguito sono riportate tutte le uguaglianze fra angoli e segmenti ricavate
con i precedenti ragionamenti.
Abbiamo provato che PD = PB e PA = PC , ossia che le diagonali del quadrilatero ABCD si
tagliano scambievolmente a metà: allora ABCD è un parallelogrammo.
Inoltre DB = AC, come già è stato provato: allora ABCD è un parallelogrammo che ha le diagonali
uguali, ossia è un rettangolo.
c.v.d.
Parte 2
Ipotesi.
• ABCD è un rettangolo
• P è il punto di intersezione delle diagonali
Tesi.
• P appartiene all’asse del segmento AB
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Svolgimento.
Per ipotesi ABCD è un rettangolo quindi le sue diagonali sono uguali: AC = DB. Inoltre, essendo
un particolare parallelogrammo, le diagonali di ABCD incontrandosi dimezzano: allora PA = PB ,
perché sono metà di segmenti congruenti.
Dire che PA = PB significa dire che P è equidistante dagli estremi del segmento AB e cioè che P
appartiene all’asse di AB, dal momento che l’asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti
equidistanti dagli estremi del segmento stesso: abbiamo quindi provato la tesi del teorema.
c.v.d.
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