IL MOTO ACCELERATO E IL CALCOLO RICORRENTE

zione del corpo. Rivediamo ora alcune definizioni delle grandezze fisiche della cinematica.
Definizione di accelerazione
Sappiamo che l’accelerazione media di un corpo nell’intervallo di tempo ∆t è data da:
∆v
v2 − v1
v( t + ∆t) − v( t)
a m
= = =
(1)
∆t
∆t
∆t
dove v(t) indica la velocità all’istante t (istante iniziale dell’intervallo) e v(t + ∆t) quella all’istante
finale.
Sappiamo anche che quanto più piccolo è l’intervallo ∆t, tanto più questo valore si avvicina
all’accelerazione istantanea.
Per cominciare con un caso semplice, supponiamo che il moto sia uniformemente accelerato.
In questo caso la relazione (1) appena vista fornisce proprio l’accelerazione istantanea del corpo,
che coincide con quella media.
Dalla (1) possiamo ottenere:
v( t + ∆t) = v( t) + a ∆t
(2)
La quantità a ∆t rappresenta la variazione di velocità.
Se l’accelerazione è costante, come nel nostro caso, la relazione (2) è esatta (cioè non dà luogo ad
approssimazioni di calcolo) e si interpreta nel seguente modo:
la velocità in un istante successivo all’istante t è data dalla velocità all’istante t più la sua
variazione intervenuta nell’intervallo di tempo ∆t.
Calcolo ricorrente della velocità
Vediamo ora come calcolare la velocità in un istante di tempo generico t usando la tecnica del
calcolo ricorrente. Si utilizza la conoscenza di una grandezza fisica ad un certo istante per
calcolarne il valore in un istante successivo.
Supponiamo che l’accelerazione del moto sia a = 2 m/s 2 , la velocità iniziale v(0) = 0 e l’intervallo
di tempo ∆t = 1 s.
Usando la (2) si ottengono i seguenti valori per la velocità negli istanti successivi (1, 2 , 3 secondi
dopo la partenza):
v(1) = v(0) + 2·1 = 2 m/s
v(2) = v(1) + 2·1 = 2 + 2 = 4 m/s
v(3) = v(2) + 2·1 = 4 + 2 = 6 m/s
In questo modo si può ottenere il valore della velocità in qualunque istante senza usare formule di
calcolo che non siano le semplici definizioni delle grandezze in gioco.
In questo esempio il calcolo effettuato fornisce risultati esatti; è possibile però applicarlo anche a
moti con accelerazione non costante, nel qual caso dobbiamo pagare il prezzo di una certa
approssimazione.
Per quanto riguarda lo spazio percorso dal corpo, si può procedere in modo analogo.
Definizione di velocità
La definizione di velocità media di un corpo nell’intervallo di tempo ∆t è la seguente:
∆s
s2 − s1
s( t + ∆t) − s( t)
v m
= = =
(3)
∆t
∆t
∆t
dove al solito s(t) indica lo spostamento all’istante t (istante iniziale dell’intervallo) ed s(t + ∆t)
quello all’istante finale. Dalla (3) si ottiene:
s( t + ∆t) = s( t) + v ∆t
(4)
La formula (4), applicata al caso di un moto accelerato, non è più esatta, come la (2), ma solo
approssimata, poiché la velocità non è costante nel tempo.
Applicheremo ora il metodo del calcolo ricorrente utilizzando il foglio elettronico.