IL MOTO ACCELERATO E IL CALCOLO RICORRENTE

IL MOTO ACCELERATO E IL CALCOLO RICORRENTE
OBIETTIVI
- Acquisire le tecniche del calcolo ricorrente per la risoluzione di equazioni fisiche, servendosi del
foglio elettronico
- Risolvere il problema cinematico del moto accelerato utilizzando le equazioni orarie elementari
derivanti dalle definizioni delle grandezze s, v ed a
- Apprendere i comandi Excel per assegnare un nome ad una zona
1 - INTRODUZIONE
1.1) UNO STRUMENTO NUOVO DI CALCOLO
Affronteremo lo studio cinematico del moto accelerato, allo scopo di acquisire una tecnica di
calcolo molto efficace con l’uso del foglio elettronico. Si tratta di risolvere il problema del moto
senza usare le relative formule per le grandezze s, v ed a, ma utilizzando solo le loro definizioni
elementari.
Nei corsi di Fisica si studiano le leggi del moto rettilineo uniforme, di quello uniformemente
accelerato e forse di qualche altro tipo (moto circolare uniforme, moto armonico...).
Si è dunque in grado di utilizzare le formule di calcolo che si riferiscono a questi tipi di moto. Ma
tali formule sono valide solo per i casi particolari a cui si riferiscono; non sono valide nel caso
generale di moti vari.
Potenza del metodo
Il metodo che qui si propone ha una validità del tutto generale e perciò è uno strumento molto
potente. Il suo utilizzo è fortemente legato all’uso del calcolatore, perché richiede lo svolgimento di
parecchi calcoli ripetuti.
Esso presenta il vantaggio di un utilizzo molto elementare delle leggi della Fisica, anche in casi
complessi. Gli strumenti matematici richiesti sono concettualmente semplici (sostanzialmente le
quattro operazioni aritmetiche).
Limiti del metodo
È necessario però conoscere anche i limiti di questo strumento; si tratta infatti di un metodo di
calcolo approssimato, con gli inevitabili errori che ciò comporta.
Impareremo a conoscere gli errori di calcolo che il metodo introduce e soprattutto a valutarne
l’entità, in modo da capire e controllare la validità dei risultati che otterremo.
1.2) IL CALCOLO RICORRENTE
Nel moto accelerato, la velocità di un corpo varia nel tempo; la conoscenza di tale grandezza è legata
a quella dell’accelerazione.
Lo spazio percorso da un corpo (o per meglio dire il suo spostamento) è legato sia alla velocità iniziale
che alla accelerazione.
Come è noto, non è possibile calcolare la velocità istantanea di un oggetto conoscendo solo lo spazio
percorso; non si può usare la relazione v = , valida solo per il moto rettilineo uniforme.
s
t
In conclusione, spostamento e velocità nel moto accelerato sono legati all’andamento dell’accelera-

zione del corpo. Rivediamo ora alcune definizioni delle grandezze fisiche della cinematica.
Definizione di accelerazione
Sappiamo che l’accelerazione media di un corpo nell’intervallo di tempo ∆t è data da:
∆v
v2 − v1
v( t + ∆t) − v( t)
a m
= = =
(1)
∆t
∆t
∆t
dove v(t) indica la velocità all’istante t (istante iniziale dell’intervallo) e v(t + ∆t) quella all’istante
finale.
Sappiamo anche che quanto più piccolo è l’intervallo ∆t, tanto più questo valore si avvicina
all’accelerazione istantanea.
Per cominciare con un caso semplice, supponiamo che il moto sia uniformemente accelerato.
In questo caso la relazione (1) appena vista fornisce proprio l’accelerazione istantanea del corpo,
che coincide con quella media.
Dalla (1) possiamo ottenere:
v( t + ∆t) = v( t) + a ∆t
(2)
La quantità a ∆t rappresenta la variazione di velocità.
Se l’accelerazione è costante, come nel nostro caso, la relazione (2) è esatta (cioè non dà luogo ad
approssimazioni di calcolo) e si interpreta nel seguente modo:
la velocità in un istante successivo all’istante t è data dalla velocità all’istante t più la sua
variazione intervenuta nell’intervallo di tempo ∆t.
Calcolo ricorrente della velocità
Vediamo ora come calcolare la velocità in un istante di tempo generico t usando la tecnica del
calcolo ricorrente. Si utilizza la conoscenza di una grandezza fisica ad un certo istante per
calcolarne il valore in un istante successivo.
Supponiamo che l’accelerazione del moto sia a = 2 m/s 2 , la velocità iniziale v(0) = 0 e l’intervallo
di tempo ∆t = 1 s.
Usando la (2) si ottengono i seguenti valori per la velocità negli istanti successivi (1, 2 , 3 secondi
dopo la partenza):
v(1) = v(0) + 2·1 = 2 m/s
v(2) = v(1) + 2·1 = 2 + 2 = 4 m/s
v(3) = v(2) + 2·1 = 4 + 2 = 6 m/s
In questo modo si può ottenere il valore della velocità in qualunque istante senza usare formule di
calcolo che non siano le semplici definizioni delle grandezze in gioco.
In questo esempio il calcolo effettuato fornisce risultati esatti; è possibile però applicarlo anche a
moti con accelerazione non costante, nel qual caso dobbiamo pagare il prezzo di una certa
approssimazione.
Per quanto riguarda lo spazio percorso dal corpo, si può procedere in modo analogo.
Definizione di velocità
La definizione di velocità media di un corpo nell’intervallo di tempo ∆t è la seguente:
∆s
s2 − s1
s( t + ∆t) − s( t)
v m
= = =
(3)
∆t
∆t
∆t
dove al solito s(t) indica lo spostamento all’istante t (istante iniziale dell’intervallo) ed s(t + ∆t)
quello all’istante finale. Dalla (3) si ottiene:
s( t + ∆t) = s( t) + v ∆t
(4)
La formula (4), applicata al caso di un moto accelerato, non è più esatta, come la (2), ma solo
approssimata, poiché la velocità non è costante nel tempo.
Applicheremo ora il metodo del calcolo ricorrente utilizzando il foglio elettronico.

2 - IN LABORATORIO DI INFORMATICA
2.1) REALIZZAZIONE DEL MODELLO IN EXCEL
In ambiente Excel inserite le etichette e i numeri indicati nella tabella che segue.
A B C D E F G
1 MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO
2
3
t v s s esatto a = 2 m/s 2
4 ∆t = 0,1 s
5 0 0 0 =0,5*a*A5^2
6 =A5+Dt =B5+a*Dt =C5+B5*Dt =0,5*a*A6^2
Posizionatevi sulla cella F3; nel menù Inserisci selezionate Nome Definisci. Nella finestra di
dialogo che appare, inserite a nella finestra Nomi nella cartella di lavoro:, assicurandovi che la
finestra Riferito a: contenga l’indirizzo della cella F3; cliccate infine su OK.
Nella Casella Nome (in alto a sinistra, sotto la barra dei pulsanti) compare ora il nome a, anziché
l’indirizzo di cella F3. D’ora in poi potrete riferirvi a questa cella indicandola con tale nome.
In modo analogo assegnate alla cella F4 il nome Dt. Inserite poi le formule indicate in tabella (nelle
celle relative, naturalmente, comparirà il risultato della formula stessa).
Copiate le celle 6A:6D per 50 righe sotto.
Costruite ora il grafico della velocità, dello spostamento approssimato e di quello esatto (calcolato
1 2
con la formula del moto uniformemente accelerato s = at ) in funzione del tempo.
2
I due grafici, dello spostamento
MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO approssimato ed esatto, sono
molto simili fra loro ed hanno
l’aspetto di una parabola
30
passante per l’origine. Si tratta,
25
come è noto, del grafico di un
20
velocita` moto uniformemente accelerato.
15
spostamento
Lo spostamento approssimato è
leggermente inferiore a quello
10
spost. esatto
esatto; ciò è dovuto al fatto che,
5
nel calcolo ricorrente, abbiamo
0
utilizzato la velocità iniziale
0 2 4 6
nell’intervallo di tempo ∆t. Che
cosa accadrebbe se usassimo
tempo
invece la velocità finale
Sostituite la formula presente nella cella C6 con =C5+B6*Dt e copiatela poi sotto; osservate come
cambia il grafico.
Questa volta lo spostamento approssimato è leggermente superiore a quello esatto. Per valutare
l’entità dell’approssimazione si può modificare il valore di ∆t, portandolo a 0,2 s; affinché i grafici

siano confrontabili, bisognerà
MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO limitare la scala dell’asse X a 6 s
e quella dell’asse Y a 30 m.
Si può osservare che i due grafici,
dello spostamento appros-
30
25
simato ed esatto, sono ora più
20
velocita` distanti: l’approssimazione è
15
spostamento
peggiorata.
Dunque l’approssimazione è
10
spost. esatto
migliore se l’intervallo ∆t è piccolo;
ma, diminuendo ∆t, è ne-
5
0
cessario ripetere più volte il calcolo
ricorrente per arrivare allo
0 2 4 6
stesso istante finale (bisogna
tempo
cioè copiare più volte le formule).
Esistono vari metodi per rendere più preciso il calcolo ricorrente senza diminuire troppo ∆t. Si può
calcolare la media (aritmetica) fra velocità iniziale e finale (ma non in tutti i casi questo è
possibile!).
Oppure si può usare il metodo di Feynman o qualche sua variante, come vedremo nel prossimo
paragrafo.
2.2) MIGLIORARE LA PRECISIONE
Proviamo a prendere come velocità media nell’intervallo ∆t la media aritmetica delle velocità
iniziale e finale:
v( t + ∆t) + v( t)
v m
=
2
Nel foglio di lavoro sostituite la formula presente nella cella C6 con =C5+(B5+B6)/2*Dt e copiatela
poi sotto.
Adesso lo spostamento approssimato è esattamente uguale all’altro! Purtroppo questo è vero solo
per il moto uniformemente accelerato; ma anche per altri tipi di moto questo metodo può portare un
sensibile miglioramento.
In metodo di Feynman
Un metodo alternativo, dovuto a Feynman, consiste nel calcolare la velocità nell’istante intermedio
fra l’inizio e la fine dell’intervallo; questo richiede un piccolo supplemento di formule nel modello
e, in genere, funziona abbastanza bene.
Una variante di questo metodo, sostanzialmente equivalente ma più facile da implementare, consiste
nel calcolare la posizione col valore iniziale della velocità e la velocità col valore finale
dell’accelerazione (o viceversa); naturalmente il metodo ha senso quando l’accelerazione non è
costante.
Il moto armonico
Un esempio tipico è quello del moto armonico; ricordiamo che l’equazione (differenziale) che
descrive questo moto è a = −ks
, dove la costante k è il quadrato della pulsazione ω.
Useremo ancora le formule ricorrenti (2) e (4) viste sopra, che ripetiamo per comodità:
s t + ∆t
= s t + v ∆
e v( t + ∆t) = v( t) + a ∆t
( ) ( ) t

Dopo aver salvato il foglio di lavoro precedente, createne uno nuovo (menù File Nuovo... Cartella
di lavoro, oppure cliccate sul pulsante (Nuovo)).
Inserite le etichette e i numeri indicati nella tabella che segue; assegnate poi alle celle F3 ed F4
rispettivamente i nomi Dt e k. Inserite infine le formule indicate (nelle celle relative, naturalmente,
comparirà il risultato della formula stessa).
A B C D E F G
1 MOTO ARMONICO
2 Parametri:
3 t a v s ∆t = 0,07 s
4 k = 5 s −2
5 0 =-D5*k 0 1
6 =A5+Dt =-D6*k =C5+B5*Dt =D5+C5*Dt
Copiate le celle 6A:6D per 100 righe sotto. Costruite il grafico dello spostamento in funzione del
tempo.
spostamento
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
MOTO ARMONICO
0 5 10 15
tempo
Il grafico ottenuto per lo spostamento
mostra qualcosa di poco
realistico: un moto oscillatorio
con ampiezza crescente. Non si
tratta di moto armonico!
Se però modifichiamo la formula
presente nella cella D6, applicando
la variante del metodo di
Feynman, le cose cambiano radicalmente:
l’ampiezza del moto
diviene costante (come deve
essere!), anche aumentando (un
po’) l’intervallo ∆t.
Modificate la formula in D6 sostituendola con =D5+C6*Dt; in questo modo si utilizza, nel calcolo
dello spostamento, la velocità finale nell’intervallo di tempo ∆t.
spostamento
1,5
1
0,5
0
-0,5
-1
-1,5
MOTO ARMONICO
0 5 10 15 20 25
tempo
Questo tipo di “trucco” funziona
bene con moti analoghi al moto
armonico, come il moto di un
pendolo (anche per oscillazioni
ampie) o il moto dei pianeti e dei
satelliti; meno bene con moti in
cui l’accelerazione dipende dalla
velocità (moto in un fluido, moto
di una particella carica in campo
magnetico, ...)
È possibile verificare anche la
relazione fra la costante k e la
pulsazione ω (o il periodo T,

spostamento
1,5
1
0,5
0
-0,5
-1
-1,5
MOTO ARMONICO
0 1 2 3 4 5
tempo
1 2π
ricordando che T = = );
f ω
nell’ultimo grafico qui accanto,
ottenuto limitando il tempo
massimo a 5 s, si può vedete che
il periodo (tempo intercorrente
fra due massimi o fra due
minimi successivi) è di circa
2,8 s, in buon accordo col valore
calcolato di 2,81 s.
Il metodo indicato può anche
essere usato al contrario, come
accennato sopra:
Ripristinate in D6 la vecchia formula =D5+C5*Dt; in C6 modificate invece la formula facendola
diventare =C5+B6*Dt.
Osservate il grafico: praticamente non è cambiato; dunque le due varianti del metodo si
equivalgono.
In una scheda successiva vedremo che il metodo proposto non è adatto, come accennato sopra, a
tutti i tipi di moti; questo ci fa capire che è necessaria molta prudenza e oculatezza, quando si usano
metodi di calcolo approssimati!