Vettori e geometria analitica in R3

Vettori e geometria analitica in R 3 1 / 25

Sistemi di riferimento in R 3 e vettori
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In fisica, grandezze fondamentali come forze, velocità, campi
elettrici e magnetici vengono convenientemente descritte
mediante l’uso dei vettori. Dal nostro punto di vista, i vettori e le
loro operazioni ci consentiranno di capire come descrivere e
studiare rette, piani e altre figure geometriche mediante
l’utilizzo delle coordinate cartesiane (e della trigonometria).
L’ambiente geometrico più naturale nel quale introdurre il
concetto di vettore è lo spazio euclideo tridimensionale
(denotato R 3 ), in cui assumeremo che sia fissato un sistema di
assi cartesiani.
Stabiliamo una corrispondenza biunivoca tra punti dello spazio
R 3 e terne ordinate di numeri reali. Scrivendo P 0 =[x 0 ,y 0 ,z 0 ],
diremo che x 0 , y 0 , z 0 sono le coordinate (cartesiane) di P 0 .

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Figura
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z
z 0
O
P 0 = [x 0 , y 0 , z 0 ]
x 0
y 0
y
x

Prime formule
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Semplici formule, già viste in R 2 , consentono di calcolare
rispettivamente la distanza tra due punti P 0 , P 1 e il punto medio
M di un segmento P 0 P 1 .
Più precisamente, siano P 0 =[x 0 ,y 0 ,z 0 ] e P 1 =[x 1 ,y 1 ,z 1 ]: allora
una doppia applicazione del Teorema di Pitagora fornisce
√
P 0 P 1 = (x 1 − x 0 ) 2 +(y 1 − y 0 ) 2 +(z 1 − z 0 ) 2 . (1)
Inoltre,
[
x0 + x 1
M = , y 0+ y 1
, z ]
0+ z 1
2 2 2
. (2)

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Vettori
Il modo più intuitivo, anche se matematicamente non
completamente rigoroso, per introdurre questo concetto è il
seguente: diremo che un vettore⃗v è identificato mediante
l’assegnazione di
1 una lunghezza;
2 una direzione;
3 un verso.
La maniera più semplice per rappresentare simultaneamente
queste tre cose consiste nell’utilizzare un segmento orientato,
diciamo da un punto P 0 ad un punto P 1 .

Vettori rappresentati da segmenti orientati
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z
P 1
⃗v
P 0
P ′ 1
x
y
⃗v ′ = ⃗v
P ′ 0

Vettori
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La lunghezza di⃗v coincide con la distanza fra i suoi estremi. La
direzione di⃗v è quella della retta che passa per P 0 e P 1 . Il verso
è quello indicato dalla freccia.
Una simbologia alternativa per⃗v è −−−−−−→ (P 1 − P 0 ). P 0 è detto punto di
applicazione del vettore.
Osservazione: se consideriamo un segmento orientato
−−−−−−−→
(P ′ 1 − P ′ 0 ) ottenuto da −−−−−−→ (P 1 − P 0 ) mediante traslazione rigida, ci
rendiamo conto subito che −−−−−−−→ (P ′ 1 − P ′ 0 ) e −−−−−−→
(P 1 − P 0 ) hanno uguale
lunghezza, direzione e verso.
In altre parole, essi costituiscono due diverse rappresentazioni
dello stesso vettore⃗v.
Allora, per descrivere nel modo più semplice possibile le
operazioni con i vettori, converrà da ora in avanti fissare
l’origine O come punto di applicazione dei vettori.

Vettori
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Ne segue che le coordinate di −−−−−−→ (P 1 − P 0 ) sono date da
[x 1 − x 0 ,y 1 − y 0 ,z 1 − z 0 ], dove [x i ,y i ,z i ] sono le coordinate di
P i ,i=0,1. Questo spiega anche la simbologia −−−−−−→ (P 1 − P 0 ) (si
legge P 1 meno P 0 ) per il vettore che va da P 0 a P 1 .
Per vari motivi di natura algebrica e fisica, conviene introdurre
un vettore anomalo, che chiameremo vettore nullo e
identificheremo con l’origine O=[0,0,0]. Il vettore nullo, anche
denotato⃗0, ha lunghezza zero, direzione e verso non precisati.

Vettori
Punto della situazione: identifichiamo dunque un vettore⃗v
con le coordinate del suo estremo P : di solito, scriveremo
⃗v=[v 1 ,v 2 ,v 3 ].
La lunghezza di⃗v (detta anche modulo) si indica |⃗v| e, in
funzione delle sue coordinate, è espressa da
√
|⃗v|= v 2 1 + v2 2 + v2 3
. (3)
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Vettori applicati in O
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z
P = [v 1 , v 2 , v 3 ]
⃗v
x
O
⃗v = −−−−−→ (P − O)
y

Operazioni sui vettori
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Le prime operazioni che possiamo definire sono la somma di
due vettori e la moltiplicazione di un vettore per un numero
reale.
Siano⃗v=[v 1 ,v 2 ,v 3 ],⃗u=[u 1 ,u 2 ,u 3 ] due vettori, e sia λ ∈R:
definiamo
⃗u+⃗v=[u 1 + v 1 , u 2 + v 2 , u 3 + v 3 ] ; (4)
λ⃗v=[λv 1 , λv 2 , λv 3 ] . (5)
Si può notare che, se λ ≠ 0, λ⃗v ha la stessa direzione di⃗v e
verso coincidente con quello di⃗v se e solo se λ > 0.
Inoltre, usando (9), è immediato verificare che
|λ⃗v|=|λ||⃗v| .

Regola del parallelogramma
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Se⃗u e⃗v non sono allineati, allora⃗u+⃗v coincide con la
diagonale del parallelogramma da essi individuato.
Inoltre, considerando uno dei due triangoli in cui la diagonale
divide il parallelogramma, vediamo che l’intuizione geometrica
supporta la validità della seguente disuguaglianza:
|⃗u+⃗v|≤|⃗u|+|⃗v| ∀⃗u,⃗v∈R 3 , (6)
detta, appunto, disuguaglianza triangolare.

Versori
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Definizione: Diciamo che un vettore⃗v è un versore se |⃗v|=1.
Siano⃗i=[1,0,0],⃗j=[0,1,0] e⃗k=[0,0,1]. Questi tre versori
sono detti versori, rispettivamente, dell’asse x, y e z. Notiamo
che ogni vettore⃗v=[v 1 ,v 2 ,v 3 ] può essere riscritto, usando le (4)
e (5), come
⃗v=v 1
⃗i+v 2
⃗j+v 3
⃗k . (7)
Ciò evidenzia anche il significato di v i ,i=1,2,3, come
componenti di⃗v lungo i tre assi.

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Componenti di un vettore
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z
v 3
⃗ k
⃗v
x
⃗ı
⃗j v 2
v 1
y

Esercizio
Esercizio: Sia⃗v=[2, 2 √ 5, 5] . Determinare un versore⃗w
parallelo a⃗v.
Soluzione: [ ]
2
⃗w=
7 , 2√ 5
7 , 5 7
oppure
⃗w=
[ ]
− 2 7 ,−2√ 5
7 ,−5 7
.
Nota: si usa indicare
vers(⃗v)= ⃗v
|⃗v|
. (8)
In parole, vers(⃗v) è quel vettore che ha modulo 1 e direzione e
verso coincidenti con quelli di⃗v.
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Prodotto scalare
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DEFINIZIONE: Siano⃗u=[u 1 ,u 2 ,u 3 ] e⃗v=[v 1 ,v 2 ,v 3 ] due vettori.
Il loro prodotto scalare, denotato⃗u·⃗v, è definito da:
⃗u·⃗v=u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 (
3
∑
i=1
u i v i ). (9)

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Prodotto scalare
È immediato notare che
⃗u·⃗u=|⃗u| 2 (10)
⃗u·⃗v=⃗v·⃗u
(λ⃗u)·⃗v=λ(⃗u·⃗v)=⃗u·(λ⃗v) ∀ λ ∈R.

Ortogonalità tra vettori
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La proprietà fondamentale del prodotto scalare (che non
dimostriamo) è
⃗u·⃗v=|⃗u||⃗v|cos θ , (11)
dove abbiamo indicato con θ l’angolo formato da⃗u e⃗v, con
0≤θ ≤ π.
In particolare, deduciamo da (11) che, se⃗u,⃗v≠⃗0, allora
⃗u⊥⃗v ⇔ ⃗u·⃗v=0 (12)
dove ⊥ indica che⃗u e⃗v sono tra loro ortogonali.

Esercizio
Esercizio: Siano⃗v,⃗u due vettori non nulli. Determinare il
vettore⃗w proiezione di⃗v lungo⃗u.
Soluzione:
⃗v
ϑ
⃗w
⃗u
⃗w=(⃗v·vers(⃗u)) vers(⃗u)= (⃗v·⃗u) ⃗u . (13)
|⃗u|
2
Nota: questo risultato vale anche per π 2 ≤ θ ≤ π (verificarlo!). 19 / 25

Prodotto vettoriale
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Definizione: Siano⃗u=[u 1 ,u 2 ,u 3 ],⃗v=[v 1 ,v 2 ,v 3 ]. Il loro prodotto
vettoriale (indicato⃗u∧⃗v, oppure⃗u×⃗v) è il vettore definito da
⃗u∧⃗v=[u 2 v 3 − u 3 v 2 , u 3 v 1 − u 1 v 3 , u 1 v 2 − u 2 v 1 ] . (14)
• Calcolo di⃗u∧⃗v mediante il concetto di determinante di una
matrice quadrata di ordine 3.

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Proprietà del prodotto vettoriale
Proprietà algebriche:
⃗u∧⃗v=−(⃗v∧⃗u) ∀⃗u,⃗v∈R 3 ; (15)
⃗u∧(⃗v+⃗w)=(⃗u∧⃗v)+(⃗u∧⃗w) ∀⃗u,⃗v,⃗w∈R 3 ;
(λ⃗u)∧⃗v=λ(⃗u∧⃗v)=⃗u∧(λ⃗v) ∀⃗u,⃗v∈R 3 ,∀ λ ∈R .

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Proprietà del prodotto vettoriale
Proprietà geometriche: indicando ancora con θ (0≤θ ≤ π)
l’angolo compreso tra⃗u e⃗v, si ha:
(i) |⃗u∧⃗v|=|⃗u||⃗v| sinθ ;
(ii) Se⃗u∧⃗v≠⃗0, allora⃗u∧⃗v è ortogonale al piano individuato
da⃗u e⃗v;
(iii) Se⃗u∧⃗v≠⃗0, allora i tre vettori {⃗u,⃗v,⃗u∧⃗v} formano una
terna destrorsa.
La dimostrazione matematica completa di queste proprietà
geometriche non è elementare e perciò è omessa.

Terna destrorsa
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⃗u ∧ ⃗v
E
⃗u
ϑ
⃗v
Terna destrorsa significa che l’omino solidale con⃗u∧⃗v vede⃗u
andare a sovrapporsi su⃗v muovendosi in senso antiorario
nell’angolo θ.

Prodotto misto
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Definizione: Siano⃗u,⃗v,⃗w tre vettori. Allora il loro prodotto misto
è
⃗u·(⃗v∧⃗w) (∈R). (16)
Nota: il calcolo del prodotto misto equivale a quello del
determinante di una matrice quadrata di ordine 3.

Prodotto misto
Volume Parallelepipedo =|⃗u·(⃗v∧⃗w)|.
⃗v ∧ ⃗w
⃗u
⃗w
h
α
⃗v
Dimostrazione:Volume=|⃗v∧⃗w| h=|⃗v∧⃗w||⃗ucosα|=|⃗u·(⃗v∧⃗w)|.
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