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Compiti di Matematica per le vacanze estive Classe 2° Liceo Classico- Pag. 1 di 8
INDICE
FUNZIONI E FUNZIONE ESPONENZIALE..................................................................... 1
LOGARITMI..................................................................................................................... 3
PROGRESSIONI............................................................................................................. 4
APPLICAZIONI DELL'ALGEBRA ALLA GEOMETRIA..................................................... 5
FUNZIONI E FUNZIONE ESPONENZIALE
FUNZIONI
1 Indicare quali dei seguenti grafici rappresentano una funzione:
2 Per ciascuna delle funzioni rappresentate seguenti grafici determinare il dominio, l'immagine
e completare le uguaglianze sotto riportate:
0= f ; = f 0 0= f ; = f 0 0= f ; = f 0
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Compiti di Matematica per le vacanze estive Classe 2° Liceo Classico- Pag. 2 di 8
= f 1 ; f x= = f 2 ; f x= = f 1 ; f x=
Per ogni funzione completare le relative uguaglianze e illustrarle graficamente:
3 f x=x 2 −2x−15 ; 0= f ; = f 0 ; −15= f ; = f −2
4
5
6
7
f x=3x−2 ; 0= f ; = f 0 ;
7
= f ; = f 5
2
f x=8 x 2 3 ; 0= f ; = f 0 ; −2= f ; = f 2
−1
f x= 4 ; 0= f ; = f 0 ; − 5 3 x
2 = f 3
; = f −2
f x=−x1 ; 0= f ; = f 0 ;
FUNZIONE ESPONENZIALE
8 Costruire per punti i grafici delle seguenti funzioni:
y=5 x y=12 x y=−33 y= 3− x 1 x
4
1
= f ; = f 8
3
9 Per ciascuna delle funzioni dell'esercizio precedente dire se è crescente o decrescente
10 Individuare la base delle funzioni esponenziali di seguito rappresentate:
EQUAZIONI ESPONENZIALI
11 3 x2 5
27 = 1 ; 4 x−1 = 1
[2,3 ;1, 2]
2 x
3 x 1 2 x −x 2
5
12 9 x−1 ⋅3 3 x
3⋅27 =1 ; 1− x 2 x 1 3 3 2 x−1 2 x =9 x ⋅2 [ 87
6 2 x1 67 ]
;−1
13 9 x 1
27 = 1
3−2 x 81 ⋅3x 1 x3
; 4 x
=2⋅ x 1
2
[ 4 1− x 7 ]
;1, 6
14 2 x 3
7 1− x
=4 5 6 1 x 2 x −1 5
3
;
9 x −1 10 [ =51
x 1 ; 9−2log5
6log2−log 5]
15 3 2 x −3 x −6=0 ; 9 x −3 x 1 2=0 log 2
[
1 ;0,
log 3]
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LOGARITMI
FUNZIONE LOGARITMICA
1 Costruire per punti i grafici delle seguenti funzioni:
y=logx3 y= 1
log x
y=logx11
2 Trovare i valori di x che soddisfano le seguenti uguaglianze:
log 2
3
y=logx3
4
9 =x log 8 4=x log 36 6=x log 5
3
25=x log 27
4
3=x
log 2 x=4
log 3 x=−2 log 3
x=− 1
2
2
log 2
x= 2 3
log 5
x=− 1 3
log x 16=8 log x
1
9 =−4 log x 196=−2 log x 16=−4 log x
3
16=2
PROPRIETÀ DEI LOGARITMI
3 Trasformare le seguenti espressioni in somme algebriche di logaritmi:
3
log3a b log a b a 2 b
log2a
ab
2 3aa 2 −b
Ridurre a un unico logaritmo le seguenti espressioni:
4 log 6− 2 3 log27log 3−2 log2 [ log 1 2]
5 log a−3log b2log a−log b
6
3 log a−1 2 logb 1 loga−2log b
[ 2
[
a 5]
3
log
b
log a3
a b] b 2
EQUAZIONI LOGARITMICHE
7 2logx3=logx−14 log2 [5]
8 1
2 logx 2 −1=−2 [±110 −4 ]
9 log xlogx−2=log9−2 x [3]
10 log 3
x 2 x−log 3
x 2 −x=1 [2]
11 log10−2 x=log5−x−log 4 [impossibile]
12 1
2 logx20=log2 1 4 logx20 [−4]
13 log xlog2 x−1=log2 x5log3
14 2log x−log2 x1log3=logx−2 [impossibile]
[5]
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15 2log x−logx−1=2 log2
16 log 2
x−log 2
x41=0
17 log2 x11−logx4−log 2=log1−3 x−log1−x
18 log 2
3 x1−log 2
x22=log 2
9 x−4−log 2
x
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[2]
[4]
[
−3 ,− 1 4]
[
2 , 4 3]
19 log x− 1 2 logx 2 1=log4−x− 1 2 logx2 −8 x17 [2]
20 1
2 log xlog 2 4
x=2 [4]
PROGRESSIONI
PROBLEMI SULLE PROGRESSIONI ARITMETICHE
1 In una progressione aritmetica sono dati [a 1
=2,d=22] .
Calcolare [S 15 ] . [15214 2]
2 In una progressione aritmetica sono dati [a 1
=6, a n
=30, S n
=666] .
Calcolare d e n. [ 2 3 ,37 ]
3 Trovare la somma dei primi n interi positivi pari. [nn1]
4 Trovare la somma dei primi n interi positivi dispari. [n 2 ]
5 Inserire 9 medi aritmetici tra 5 e 25. [d=2]
6 31 531
3
Inserire 7 medi aritmetici tra e
.
2 2
[
d=
4 ]
7 Dire quanti termini sono compresi tra −3−2 e 5−2 nella
progressione aritmetica di ragione d = 4/3. [5]
8 Calcolare x in modo che 3 x−2 , 4 x−1 , x−4 siano,
nell'ordine, i termini consecutivi di una progressione aritmetica.
9 La somma dei primi 4 termini di una progressione aritmetica è e il
prodotto del primo con il quarto termine è 42. Trovare i termini della
[ 2 soluzioni :
progressione.
3 2 ,... ;7 2 ,...]
10 Il perimetro di un triangolo rettangolo è di cm 48. Trovare i lati
sapendo che sono in progressione aritmetica.
PROBLEMI SULLE PROGRESSIONI GEOMETRICHE
[−1]
[12,16, 20]
11 In una progressione geometrica sono dati [a 1
=2,d=2] .
Calcolare [S 14 ] . [25421]
12 In una progressione geometrica sono dati
[ a 1= 1 , a
3 n =273 ,q=3]
. Calcolare n.
[10]
13 Trovare la somma delle prime cinque potenze di 2, a partire da 2. [62]
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14 Trovare la somma delle prime cinque potenze di 3, a partire da 3. [88572]
15 Inserire 4 medi geometrici tra 9 e 1/27.
[ q= 1 3]
16 Inserire12 medi geometrici tra
2
2
e 64 .
[q=2]
17 Dire quanti termini sono compresi tra 2 e 1458 nella progressione
aritmetica di ragione q= 3 9 . [8]
18 Calcolare x in modo che x−1 , 2 x1 , 3 x−1 siano,
nell'ordine, i termini consecutivi di una progressione geometrica.
[0,−8]
19 La somma di tre numeri in progressione geometrica è 26 e il prodotto
del primo con il terzo termine è 36. Determinare i tre numeri. [2,6,18]
20 I lati di un triangolo rettangolo sono in progressione geometrica.
Calcolare la ragione della progressione.
[ q= 1 5
2 ]
APPLICAZIONI DELL'ALGEBRA ALLA GEOMETRIA
PROBLEMI SU CIRCONFERENZA E CERCHIO
(1) (2) (3) (4)
1 Se l'area della parte colorata in figura è 600π cm 2 , quanto misura il
diametro AC sapendo che AB=BD=DC
2 Sapendo che BC supera AB di 2 cm e che l'area della regione colorata è
24π cm 2 , calcolare le misure dei diametri delle tre circonferenze.
3 Sono date due circonferenze concentriche di raggi r e 2r e due tangenti
alla circonferenza interna condotte da un punto di quella esterna.
Calcolare l'area della regione colorata.
4 Se l'area della parte colorata è quanto misura 100π cm 2 il diametro della
circonferenza
[cm60√2]
[cm 6, cm 8, cm
14]
4 −3 3
[ 2] r
3
[cm40√2]
(5) (6) (7) (8)
5 Il raggio della circonferenza in figura è 8 cm. Calcolare la lunghezza della
linea che delimita ciascuna zona colorata.
[6π cm, 8π cm,
4π cm]
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6 Sono dati i segmenti a due a due adiacenti AB, BC E CD con AB e CD congruenti. Su
AB,CD, AD, dalla stessa parte, si tracciano tre semicirconferenze e su BC, dalla parte
opposta, un'altra semicirconferenza. Dimostrare che la superficie limitata dalle quattro
semicirconferenze è equivalente al cerchio che ha per diametro il segmento FE che unisce i
punti medi delle semicirconferenze di diametri AD e BC.
7 La parte colorata in figura si chiama pelecoide (i punti A, B, C, D sono allineati e si seguono
nell'ordine indicato): si ponga AD=2r, AB=2a, e CD=2b. Dimostrare che il contorno del
pelecoide ha la stessa lunghezza della circonferenza di diametro AD e che il rapporto tra la
superficie del pelecoide e quella del cerchio di diametro AD è uguale a BC/AD.
8 I segmenti AB e CD sono congruenti e le semicirconferenze di diametri AD e BC hanno
come centro comune il punto medio O di BC. Dimostrare che le due superfici colorate sono
equivalenti e che la differenza fra i loro contorni è congruente alla circonferenza di diametro
AB.
PROBLEMI DI GEOMETRI SOLIDA
1 Un cartone a forma di quadrato poggia con uno spigolo su una parete e con
lo spigolo opposto sul pavimento di una stanza. Determinare la misura degli
angoli diedri formati dal cartone con la parete e con il pavimento, sapendo
che lo spigolo che poggia sul pavimento è il doppio della sua distanza dalla
parete. [R. 30°, 60°]
2 Dato il triangolo equilatero ABC di lato l dai vertici B e C si traccino i
segmenti perpendicolari al piano del triangolo (e dalla stessa parte di
questo) BB' = CC' =4l /3.
Determinare il perimetro del triangolo AB'C'. [R. 13l /3]
3 Due punti A e B situati da parti opposte rispetto ad un piano a distano da a
rispettivamente cm 13 e cm 8, mentre le corrispondenti proiezioni su a
distano fra loro di cm 20. Determinare la distanza dei punti A e B. [R. cm 29]
4 Un triangolo ABC ha i vertici A e B su un piano α e il vertice C distante cm15
da α. Sapendo che la distanza dalla retta AB della proiezione di C su α è
uguale ad AB = cm8, si domanda l'area di ABC. [R. cm 2 68]
5 Il lato AB di un triangolo equilatero ABC misura /. Un semipiano α, di origine
AB, forma con il piano del triangolo un diedro di 45°. Determinare l'area del
triangolo ABC', essendo C' la proiezione di C su α.
6 Riferendosi al problema precedente verificare che, se l'angolo diedro è di
60°, il rapporto fra ABC ed ABC è 2.
[R. l 2 √6/8]
7 Determinare la distanza di due rette sghembe r ed s sapendo che due rette
a, b, parallele alla s, intersecano la r e sono ad essa perpendicolari, che la
loro distanza è cm21 e che le distanze di a ed s e di b ed s sono cm13 e
cm20. [R. cm 12]
8 In un triangolo isoscele ABC si ha AC=CB=13a, AB = 25a. Per C si tracci un
piano α tale che, dette A' e B' le proiezioni di A e B su di esso, si abbia AA' =
12a, BB' = 5a. Determinare il perimetro del triangolo A'B'C. [R. 41a]
9 Determinare l'altezza di un parallelepipedo rettangolo, avente per base un
rettangolo i cui lati sono di cm3 e cm18, in modo che la diagonale del
parallelepipedo sia congruente alla somma dell'altezza con il lato minore
della base. [R. cm 54]
10 Si consideri sullo spigolo BC di un cubo ABCDA'B'C'D' il punto M tale che
sia BM = 2MC. Da M si conduca la parallela al lato AB che incontri in N il
lato AD. Dopo aver dimostrato che i quadrilateri A'B'MN e D'C'MN sono dei
rettangoli,
1°) si verifichi che il rapporto tra i perimetri dei due sopra citati rettangoli è
indipendente dalla lunghezza dello spigolo del cubo;
[rapporto
perimetri =
(3+√13)(√10-3);
cm12]
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2°) si determini lo spigolo del cubo in modo che sia verificata la relazione
5 M C ' 11 M A' =64 2cm
11 In figura è rappresentata una piramide VABCD avente per base il quadrato
ABCD, il cui lato misura /, e per vertice il punto V situato sulla perpendicolare
al piano di base e tale che VA = AC.
Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false:
a ) le facce laterali sono triangoli rettangoli a due a due congruenti;
b ) lo spigolo VC forma con il piano di base un angolo di 60°;
d) la somma degli spigoli laterali misura (6 + √2 + 2√3)/;
e) la somma delle aree delle facce laterali della piramide misura (√2 +√3)/ 2
12 Una piramide retta ha per base un rombo la cui diagonale minore è i 16/17
del lato e la somma delle diagonali è di cm92. Determinare l'apotema della
piramide sapendo che la sua altezza è di cm20√145/17.
13 Una piramide quadrangolare regolare di altezza cm224 è stata sezionata
con un piano parallelo alla base e distante dal vertice per 3/4 dell'altezza.
Determinare l'apotema dellapiramide sapendo che il perimetro della sezione
è di cm180.
14 In una piramide regolare quadrangolare l'apotema è di cm52 e l'altezza è i
6/5 del lato di base. Determinare l'apotema del tronco di piramide che si
determina sezionando la piramide data con un piano parallelo alla base e
distante dal vertice cm9,6.
15 Una piramide ha per base il triangolo rettangolo ABC i cui cateti AB e AC
sono rispettivamente di cm36 e cm48 . L'altezza della piramide è di cm72 e
la proiezione O de vertice sul piano di base cade sull'ipotenusa BC
dividendola in due parti BO e OC che stanno nel rapporto 1:5. Determinare
le altezze delle facce laterali della piramide.
16 Una piramide ha per base il triangolo rettangolo ABC la cui ipotenusa BC è i
del cateto AB t il cui perimetro è di 180 m. L'altezza della piramide è di 36 m,
la proiezione O del vertice sulla base cade sul cateto AB e lo divide nel
rapporto AO : OB = 1:3. Determinare le altezze delle facce laterali della
piramide.
17 Una piramide ha per base un rettangolo di dimensioni cm50 e cm125. Due
facce laterali sono triangoli isosceli aventi le basi sui lati minori del rettangolo
di base e le altezze di cm75 e cm100. Calcolare la misura dell'altezza.
18 Una piramide a base rettangolare ha le dimensioni di base di cm75 e cm30;
due facce laterali sono triangoli isosceli aventi ciascuno come base uno dei
lati minori del rettangolo di base. I lati congruenti dei due triangoli isosceli
sono rispettivamente cm15√10 e cm15√17. Trovare l'altezza della piramide
e l'altezza delle facce laterali dopo aver verificato che il triangolo sezione
della piramide con un piano passante per il vertice e per i punti medi dei lati
minori della base è un triangolo rettangolo.
19 Due facce opposte di una piramide a base rettangolare sono triangoli
isosceli e le altre due facce opposte sono triangoli rettangoli congruenti
aventi per ipotenusa il lato maggiore del rettangolo di base; il lato minore
della base è di cm 14,4; i cateti dei triangoli rettangoli sono di cm15 e cm20.
Determinare l'altezza della piramide.
20 Lo spigolo VA di una piramide VABCD, avente per base un rombo, è
perpendicolare al piano di base. Determinare le altezze delle facce laterali
VBC e VDC, sapendo che l'altezza della piramide è cm120/13 e che le
diagonali della base sono di cm24 ecm10.
[cm20]
[226 cm]
[41,6 cm]
[cm 72; cm78;
cm8√82]
[m39; m36;
m45]
[cm60]
[m36; m45;
m60; cm39]
[cm9,6]
[cm120√2/13]
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21 Su una delle due basi di un cilindro equilatero si costruisce un cono avente
la base coincidente con quella del cilindro. Determinare il raggio di base dei
due solidi sapendo che la somma delle loro altezze è i 22/5 di esso e che
l'apotema del cono è di cm65.
22 In una sfera di raggio r è inscritto un cono equilatero. A quale distanza dal
vertice del cono si deve condurre un piano parallelo alla sua base in modo
che la somma dei quadrati delle misure dei raggi delle sezioni determinate
dal piano intersecando la sfera e il cono sia 5/6r 2
[cm25]
23 Un tronco di cono è inscritto in una semisfera di raggio r. Determinare
l'apotema del tronco sapendo che il raggio della sua base minore è i 2/5 di
quello della maggiore. [5/4 a]
24 Si consideri un cilindro di raggio r; si inscriva in una delle basi del cilindro un
quadrato ABCD e si consideri la piramide OABCD, essendo O il centro
dell'altra base del cilindro. Determinare l'altezza del cilindro sapendo che il
rapporto tra lo spigolo e l'apotema della piramide è 3√2/4.
[r/2]
[r√14/2]
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