Ðаголовок Ñлайда оÑÑÑÑÑÑвÑÐµÑ - ЯдеÑÐ½Ð°Ñ Ñизика в инÑеÑнеÑе
Ðаголовок Ñлайда оÑÑÑÑÑÑвÑÐµÑ - ЯдеÑÐ½Ð°Ñ Ñизика в инÑеÑнеÑе
Ðаголовок Ñлайда оÑÑÑÑÑÑвÑÐµÑ - ЯдеÑÐ½Ð°Ñ Ñизика в инÑеÑнеÑе
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Атомное ядро –<br />
связанная<br />
система<br />
протонов и<br />
нейтронов<br />
(A,Z)<br />
Z – заряд ядра – числопротоноввядре.<br />
А – массовое число – суммарное число<br />
протонов и нейтронов в ядре.<br />
A= Z + N<br />
N – число нейтронов в ядре<br />
40<br />
Ca
Характеристики протона,<br />
нейтрона и электрона<br />
Характеристика Протон Нейтрон Электрон<br />
Масса mс 2 , МэВ 938.272 939.565 0.511<br />
Электрический заряд<br />
(в единицах<br />
элементарного заряда)<br />
+1 0 −1<br />
Спин (в единицах ћ) ½ ½ ½<br />
Чётность +1 +1<br />
Статистика<br />
Магнитный момент<br />
(для нуклонов - в<br />
ядерных магнетонах,<br />
для электрона - в<br />
магнетонах Бора)<br />
Ферми-Дирака<br />
+2.79 −1.91 +1.001<br />
Время жизни<br />
Тип распада<br />
> 10 32<br />
лет<br />
885.7±0.8 с >4.6⋅1026<br />
лет<br />
n → p+e − + ν е
N-Z диаграмма<br />
атомных ядер<br />
Каждое атомное ядро, имеющее Z протонов и N<br />
нейтронов, занимает определенное положение на<br />
N-Z диаграмме атомных ядер. Стабильные ядра,<br />
образующие узкую полосу, показаны тёмным цветом.<br />
Известно порядка 300 стабильных ядер. Красным<br />
цветом показаны β + -радиоактивные ядра, синим —<br />
β − -радиоактивные ядра, желтым — α -радиоактивные<br />
ядра. Известно около 3500 радиоактивных ядер. Это<br />
только часть радиоактивных ядер. Всего их может<br />
быть порядка 7000.
Атомные ядра<br />
Стабильные ядра<br />
известно около 300 стабильных ядер<br />
Радиоактивные ядра<br />
известно около 3000 радиоактивных ядер<br />
Изотопы Ядра с одинаковым Z<br />
Изобары Ядра с одинаковым A<br />
Каждому ядру соответствует определённое положение на<br />
N,Z диаграмме. Стабильные и долгоживущие ядра<br />
образуют узкую полосу, называемую линией или долиной<br />
стабильности.<br />
Легкие стабильные ядра (А < 40) имеют приблизительно<br />
равные числа нейтронов и протонов. В области более<br />
тяжелых ядер отношение числа нейтронов к числу<br />
протонов начинает возрастать и достигает величины 1.6 в<br />
районе А = 250. Это изменение отношения N/Z обусловлено<br />
короткодействующим характером ядерных сил и<br />
возрастающей ролью кулоновского отталкивания<br />
протонов с ростом А. Тяжелые ядра оказываются<br />
энергетически более устойчивыми, если содержат<br />
большее число нейтронов N по сравнению с числом<br />
протонов Z. Наиболее тяжелыми стабильными ядрами<br />
являются изотопы свинца (Z = 82) и висмута (Z = 83). Для<br />
ядер долины стабильности характерно следующее<br />
отношение числа нейтронов к числу протонов:<br />
N<br />
Z<br />
≈<br />
2/3<br />
1 + 0.015·A
Вопрос<br />
До открытия нейтрона считали, что<br />
ядро состоит из A протонов и<br />
( A− Z)<br />
электронов.<br />
Какие факты опровергают эту<br />
гипотезу
Размер<br />
атомного ядра
Размер ядра<br />
Радиальное распределение плотности заряда<br />
в различных ядрах<br />
ρ<br />
(0)<br />
ρ<br />
( r)<br />
=<br />
1<br />
+<br />
e<br />
r−R<br />
a<br />
R = 1.2⋅A 1/3 Фм<br />
t = 4.4a = 2.5 Фм
Размер ядра<br />
Плотность распределения электрического заряда<br />
ρ () r , обеспечивающая наилучшее согласие с<br />
экспериментом даётся формулой Ферми<br />
ρ( r)<br />
=<br />
1<br />
ρ(0)<br />
+<br />
e<br />
r−R<br />
R — расстояние от центра, на котором<br />
a — параметр, характеризующий толщину<br />
поверхностного слоя ядра.<br />
a<br />
R = 1.2⋅A 1/3 Фм<br />
t = 4.4a = 2.5 Фм<br />
R( 40 Ca)=4.1 Фм<br />
R( 208 Pb)=7.1 Фм<br />
ρ(0)<br />
ρ = ;<br />
2
Масса<br />
атомного ядра
Масса атомного ядра<br />
Основные методы определения масс ядер.<br />
• Метод магнитного анализа. Магнитная жесткость Bρ , масса<br />
ядра M , его скорость V и заряд Q связаны соотношением<br />
MV<br />
Bρ = .<br />
Q<br />
B - напряженность магнитного поля,<br />
ρ - радиус поворота иона в магнитном поле.<br />
• Метод времени пролета. Масса иона определяется из<br />
M L<br />
соотношения Bρ = ,<br />
QT<br />
T — время пролета расстояния L между детекторами.<br />
• Измерение циклотронной частоты. Частота ω иона,<br />
вращающегося в постоянном магнитном поле B , связана с<br />
его массой M и зарядом Q соотношением B M ω = Q<br />
.<br />
• Измерение энергии реакции Q .<br />
В двухчастичной реакции A + a→ B+ b массы ядер связаны<br />
Q<br />
соотношением + = + + . Если известны<br />
2<br />
M<br />
A<br />
Ma MB Mb<br />
c<br />
массы трех частиц, то масса четвертой частицы<br />
определяется по результатам измерения энергии реакции Q<br />
• Измерение α -спектров. Для α -радиоактивных ядер масса<br />
ядра определяется из анализа энергетических спектров<br />
α -частиц.<br />
Q M<br />
B<br />
A → B + α , M<br />
A<br />
= MB<br />
+ Mα<br />
+ , E = Q c<br />
2 α . M<br />
A<br />
• Измерение энергии β -распада Q β<br />
. Масса ядра,<br />
испытывающего β -распад, определяется из соотношения<br />
Q<br />
− +<br />
β<br />
A→ B+ e ( e ) + ν ( ν ), M<br />
A<br />
= MB + me<br />
+ .<br />
2<br />
c
Масса атомного ядра<br />
Масса m и энергия покоя E частицы<br />
связаны соотношением<br />
2<br />
E = mc .<br />
Когда протон и нейтрон соединяются в ядро<br />
дейтрон, происходит рождение γ -кванта с<br />
энергией 2,2 МэВ.<br />
p + n→ d + γ (2,2 МэВ)<br />
Т.е. энергия дейтрона на 2,2 МэВ меньше<br />
суммы энергий покоя протона и нейтрона.<br />
Следовательно, масса дейтрона меньше<br />
суммы масс протона и нейтрона на 2,2 МэВ/с 2 .<br />
m<br />
n<br />
и<br />
d<br />
m ,<br />
Зная величины m<br />
p<br />
,<br />
можно<br />
определить величину энергии выделяющейся<br />
при слиянии протона и нейтрона в дейтрон.<br />
Источником энергии, выделяющейся на<br />
Солнце, является образование ядра 4 He при<br />
слиянии 4 протонов.<br />
4<br />
+<br />
4p→ He+ 2e + 2ν<br />
e<br />
Масса ядра<br />
4 He на 0,6% меньше массы<br />
четырёх протонов. В результате синтеза 4 He<br />
в процессе<br />
4<br />
+<br />
4p→ He+ 2e + 2ν<br />
e<br />
E ≈ МэВ.<br />
выделяется энергия 25
Энергия связи<br />
ядра
Энергия связи ядра W(A,Z)<br />
Энергия связи ядра W(A,Z) –<br />
энергия, которую необходимо<br />
затратить для того, чтобы<br />
разделить атомное ядро на<br />
отдельные составляющие его<br />
нейтроны и протоны.<br />
2<br />
M( A, Z) c + W( A, Z)<br />
=<br />
p<br />
2<br />
( )<br />
2<br />
n<br />
= Z⋅ m c + A−Z<br />
m c
Энергия связи ядра<br />
В таблицах свойств атомных ядер часто<br />
приводятся не массы атомных ядер M<br />
ядра<br />
, а<br />
массы нейтральных атомов M<br />
ат<br />
. M<br />
ядра<br />
и M<br />
ат<br />
связаны между собой соотношением<br />
M = M − Zm ,<br />
ядра ат e<br />
Zm<br />
e<br />
— полная масса электронов атома,<br />
соответствующего данному ядру.<br />
Энергией связи электронов с ядром можно<br />
пренебречь, т.к. она значительно меньше<br />
энергии связи нуклонов в ядре.<br />
Формулу энергии связи ядра<br />
W( A, Z) = ⎡<br />
⎣Zm + ( A−Z) m ⎤<br />
⎦c −M ( A, Z)<br />
c<br />
можно переписать в виде<br />
2 2<br />
p n ядра<br />
W( A, Z) = Z( m −m ) c −( A−Z) m c −( M −Zm ) c<br />
или<br />
2 2 2<br />
n e n ат e<br />
[ ] 2 2<br />
W( A, Z) = Zm + ( A−Z)<br />
m с − M c .<br />
н n ат
Атомная единица массы.<br />
Дефект массы<br />
Атомная единица массы (а.е.м.) равна<br />
1/12 массы атома углерода 12 С.<br />
−24<br />
1а.е.м. = 1,6582⋅10 г<br />
или<br />
931,44 МэВ.<br />
Разность Δ между массой ядра в<br />
атомных единицах массы и его<br />
массовым числом называется дефектом<br />
массы<br />
M<br />
Δ= −<br />
1<br />
M (<br />
12<br />
C)<br />
12<br />
A<br />
.
Удельная энергия связи ядра ε(A,Z)<br />
Удельная энергия связи ядра ε (A,Z) – средняя<br />
энергия связи, приходящаяся на один нуклон.<br />
ε(A,Z) =<br />
W(A, Z)<br />
A<br />
Зависимость удельной энергии связи ε = W/A от<br />
массового числа А
Пример<br />
Масса нейтрального атома 16 O<br />
M ( , ) ат.<br />
A Z = 15,9949 а.е.м. Определить удельную<br />
энергию связи ε ядра 16 O.<br />
Удельная энергия связи ядра<br />
E ( , )<br />
св.<br />
A Z<br />
ε ( AZ , ) = , где<br />
св.<br />
A<br />
E ( A , Z ) — энергия связи<br />
ядра, A — массовое число. Полная энергия связи<br />
ядра<br />
2<br />
Eсв.<br />
( A, Z) = ⎡<br />
⎣Zmp+ ( A−Z) mn− Mя( A, Z)<br />
⎤<br />
⎦c<br />
=<br />
= ⎡<br />
⎣Zm + A−Z m −M A Z −Zm ⎤<br />
⎦c<br />
2<br />
p<br />
( )<br />
n ат.<br />
( , )<br />
e<br />
.<br />
Используя энергетические единицы для масс<br />
1 а.е.м.= 931,49 МэВ, получаем для ядра 16 O<br />
Zmp+ ( A−Z) mn−Mат.<br />
( A, Z)<br />
−Zme<br />
ε = =<br />
A<br />
8× 938,27 МэВ + (16 − 8) × 939,57 МэВ − 15,9949× 931,49 МэВ − 8×<br />
0,511 МэВ<br />
= =<br />
16<br />
= 7,5 МэВ/нуклон.
Энергия связи ядра W(A,Z)<br />
Энергия связи ядра W(A,Z) – энергия, которая<br />
необходима для того, чтобы разделить ядро<br />
на отдельные составляющие его нуклоны.<br />
23 Z( Z −1)<br />
W( A, Z ) = αА − β А − γ<br />
13<br />
A<br />
( A−<br />
2Z<br />
) 2<br />
34<br />
− δ + ζ А<br />
−<br />
A<br />
α = 15.6 МэВ,<br />
β = 17.2 МэВ,<br />
γ=0.72 МэВ,<br />
δ = 23.6 МэВ.<br />
ζ= +34 МэВ – чётно-чётные ядра;<br />
ζ= 0 – нечётные ядра;<br />
ζ=−34 МэВ – нечётно-нечётные ядра.<br />
ε<br />
(A,Z)=<br />
W(A,Z)<br />
A
Энергия связи ядра<br />
1<br />
A<br />
A<br />
Объемная энергия<br />
Если пренебречь быстрым уменьшением удельной<br />
энергии связи в легчайших ядрах и медленным в<br />
тяжелых, можно считать, что в первом приближении<br />
удельная энергия связи для большинства ядер<br />
остается постоянной. Поэтому энергия связи<br />
большинства ядер приближенно пропорциональна<br />
числу нуклонов:<br />
Wобъемная<br />
= α A,<br />
( A − 2Z<br />
)<br />
3<br />
W( A, Z ) = αА − β А 2<br />
2<br />
Z(<br />
Z −1)<br />
4<br />
− γ − δ + ζА −3<br />
3<br />
α − коэффициент пропорциональности. Это далеко<br />
идущее утверждение о линейной зависимости энергии<br />
связи от А, означает, во-первых, что ядерные силы,<br />
удерживающие нуклоны вместе, обладают<br />
свойством насыщения, при котором каждый нуклон<br />
имеет только одну связь, с помощью которой он<br />
может взаимодействовать с другими нуклонами.<br />
Если бы нуклон обладал несколькими такими<br />
связями, то зависимость энергии связи от А<br />
неизбежно была бы нелинейной, по крайней мере<br />
квадратичной, поскольку число взаимодействующих<br />
пар равнялось бы А(А-1)/2. Плотность ядра при<br />
насыщающих ядерных силах не должна зависеть от<br />
числа нуклонов и, следовательно, объём ядра должен<br />
быть приближенно пропорциональным его<br />
массовому числу А.<br />
R∼<br />
A<br />
1/3
Энергия связи ядра<br />
( A − 2Z<br />
)<br />
2<br />
23 Z(<br />
Z −1)<br />
4<br />
W( A, Z ) = αА − β А − γ − δ + ζА −3<br />
1 3<br />
A<br />
A<br />
Поверхностная энергия<br />
Существование поверхности должно уменьшать<br />
энергию связи, так как связи нуклонов вблизи<br />
поверхности насыщаются меньше, чем внутри<br />
ядра. Поверхностная энергия тем больше, чем<br />
больше поверхность ядра, и записывается в<br />
виде<br />
E = β А 23<br />
поверхностная<br />
.
Энергия связи ядра<br />
3<br />
W( A, Z ) = αА − β А 2 ZZ ( −1)<br />
− γ<br />
13<br />
A<br />
−<br />
( A − 2Z<br />
)<br />
4<br />
δ + ζА −3<br />
A<br />
2<br />
Кулоновская энергия<br />
Кулоновское отталкивание протонов уменьшает<br />
энергию ядра. Для ядра с равномерным<br />
распределением протонов по объёму энергия<br />
кулоновского отталкивания пропорциональна<br />
1/3<br />
Z( Z − 1)/ R или Z( Z − 1)/ A . Кулоновская энергия<br />
записывается в виде<br />
E<br />
= γ<br />
Z( Z −1)<br />
кулоновская 13<br />
A
Энергия связи ядра<br />
3<br />
W( A, Z ) = αА − β А 2 Z(<br />
Z −1)<br />
− γ −<br />
1 3<br />
A<br />
δ<br />
( A−<br />
2Z<br />
) 2<br />
A<br />
4<br />
+ ζА −3<br />
Энергия симметрии<br />
Энергия симметрии является следствием<br />
действия принципа Паули для тождественных<br />
фермионов. В состав ядра входят фермионы<br />
двух типов – протоны и нейтроны. Если,<br />
например, попытаться создать устойчивое<br />
ядро только из А нейтронов, то нужно будет<br />
разместить их по самым нижним<br />
энергетическим состояниям. Поскольку лишь<br />
ограниченное число фермионов каждого сорта<br />
могут занять определенный энергетический<br />
уровень, то часть нейтронов придется<br />
поместить на уровни, лежащие при более<br />
высоких энергиях. Это уменьшает энергию<br />
связи ядра по сравнению с тем случаем, когда<br />
ядро из А нуклонов содержит одинаковые<br />
количества протонов и нейтронов, на<br />
величину энергии симметрии<br />
симметрии<br />
( 2 )<br />
E δ A Z A<br />
2<br />
= −<br />
.
Энергия связи ядра<br />
Энергия спаривания<br />
В зависимости энергии связи от А наблюдаются<br />
«пульсации» на уровне 1-3 МэВ, которые объясняются<br />
специфическим свойством взаимодействия в системе<br />
связанных нуклонов. В атомных ядрах возникает<br />
дополнительная связь между двумя нуклонами одного<br />
типа (двумя протонами или двумя нейтронами),<br />
занимающими один и тот же энергетический уровень.<br />
Этот эффект, называемый спариванием, невелик − чтобы<br />
разорвать эту дополнительную связь нужна энергия<br />
≈ 1-3 МэВ<br />
Наличие сил спаривания разбивает все ядра на три<br />
группы:<br />
− чётно-чётные ядра. Все нуклоны в основном<br />
состоянии спарены и положительная добавка к энергии<br />
связи за счёт этого наибольшая;<br />
− нечётно-нечётные ядра. В основном состоянии не<br />
спарены по одному нуклону каждого типа и добавка к<br />
энергии связи наименьшая;<br />
− нечётные ядра. В основном состоянии не спарен<br />
один нуклон.<br />
Ярким проявлением сил спаривания является то, что<br />
среди 300 стабильных ядер почти 2/3 являются чётночётными,<br />
а нечётно-нечётных всего четыре<br />
2 H<br />
1<br />
6 Li<br />
3<br />
10<br />
5<br />
B<br />
14 N<br />
7<br />
Энергию спаривания записывают так, чтобы для<br />
нечётных ядер она была равна нулю.<br />
E<br />
спаривания<br />
− 34<br />
= ζ А<br />
.
Магические<br />
числа
Энергия связи ядра<br />
Магические числа<br />
2, 8, 20, 28, 50, 82, 126<br />
Формула<br />
ZZ ( 1) ( A 2 Z)<br />
W( A, Z)<br />
α A β A γ −<br />
A<br />
A<br />
δ −<br />
= − − − +<br />
A<br />
ς −<br />
2<br />
2/3 3/4<br />
1/3<br />
позволяет по известным значениям A и Z вычислить<br />
энергию связи ядра с точностью ≈10 МэВ. При A = 100 это<br />
даёт относительную ошибку ≈ 10 −2 . Наибольшее<br />
расхождение с экспериментом Δ обнаруживается в районе<br />
магических чисел. Это указывает на важность учёта<br />
оболочечной структуры атомных ядер.
Магические ядра<br />
Магические ядра — это ядра, в которых<br />
число протонов Z или нейтронов N равно<br />
одному из магических чисел.<br />
Z, N = 2,8,20,50,82<br />
N<br />
=<br />
126<br />
Магические ядра отличаются повышенной<br />
устойчивостью, большей распространенностью.<br />
Энергии отделения нейтрона,<br />
протона, двух нейтронов вблизи магических<br />
чисел имеют характерные особенности.<br />
Существование магических ядер<br />
послужило одним из основных аргументов в<br />
построении оболочечной модели ядра.<br />
Ядра имеющие одновременно<br />
магические числа N и Z называют дважды<br />
магическими. Так, например, дважды<br />
магическими ядрами являются ядра<br />
40 Ca<br />
( N = Z = 20) и 208 Pb ( Z = 82, N = 126).
Энергия α-распада<br />
Q α (A,Z)<br />
Зависимости энергии α-распада E α изотопов<br />
Z = 85, 87, 89, 91, 93 от числа нейтронов в ядре.
Энергия отделения двух<br />
нейтронов E 2n (A,Z)<br />
Зависимость энергии отделения двух<br />
нейтронов E 2n (A,Z) изотопов<br />
Z = 55, 57, 59, 61, 63, 65 от числа<br />
нейтронов в ядре.
Вопрос<br />
Получите соотношение,<br />
связывающее массовое число A и<br />
заряд Z для ядер расположенных<br />
в долине стабильности.
Энергия<br />
отделения<br />
нуклона
Энергия отделения нуклона<br />
Энергию отделения нуклона определяют через<br />
энергию связи ядра.<br />
Отделению нейтрона отвечает процесс<br />
(А, Z) → (А−1, Z) + n.<br />
Энергия, необходимая для этого, определяется<br />
разностью масс начального ядра и конечных<br />
продуктов (конечного ядра и нейтрона) в<br />
энергетических единицах, т. е.<br />
B n = [М(А−1, Z) + m n − М(А, Z)]c 2 = W(А, Z) − W(А−1, Z).<br />
Аналогично, энергия отделения протона<br />
B p = [М(А−1, Z−1) + m p − М(А, Z)]c 2 = W(А, Z) − W(А−1, Z−1)<br />
Ядро перестает быть связанным и,<br />
следовательно, существовать, когда энергия<br />
отделения нуклона становится меньше нуля:<br />
B n < 0, B p < 0,<br />
т.е. существование ядра (А, Z) энергетически не<br />
выгодно.
Пример<br />
Массы нейтральных атомов в атомных единицах<br />
массы: 16 O — 15,9949, 15 O — 15,0030,<br />
15 N — 15.0001. Чему равны энергии отделения<br />
нейтрона и протона в ядре 16 O<br />
Энергия отделения нейтрона<br />
ε ( A, Z) = m + M( A−1, Z) − M( A, Z)<br />
,<br />
n<br />
n<br />
протона — ε ( A, Z) = m + M( A−1, Z −1) − M( A, Z)<br />
.<br />
p<br />
В обеих формулах массы должны быть в<br />
энергетических единицах.<br />
Для ядра 16 O<br />
p<br />
εn<br />
= 939,6 МэВ +<br />
+ (15,0030 а.е.м. − 15,9949 а.е.м.) × 931,5 МэВ = 15,6 МэВ;<br />
ε = 938,3 МэВ +<br />
p<br />
+ (15,0001 а.е.м. − 15,9949 а.е.м.) × 931,5 МэВ = 11,6 МэВ.
Вопрос<br />
Вычислите энергию отделения<br />
α-частицы (ядра 4 He) из ядра (A,Z).
Зеркальные<br />
ядра
Зеркальные ядра<br />
∆Е<br />
Зеркальные ядра — это ядра, имеющие<br />
одинаковое массовое число A и переходящие друг<br />
в друга при замене протонов нейтронами и<br />
нейтронов протонами. Примерами зеркальных ядер<br />
являются ядра 7 Li(3p4 n ) — 7 Be(4 p3 n ) , 13 C(6 p7 n)<br />
— 13 N(7 p6 n ) . Так как сильные взаимодействия<br />
обладают свойством изоспиновой инвариантности,<br />
свойства зеркальных ядер близки. Так, например,<br />
они имеют похожие спектры возбужденных<br />
состояний — практически одинаковые энергии<br />
возбуждения, одинаковые значения квантовых<br />
чисел спина J и четности P . Различие в массах<br />
зеркальных ядер обусловлено различием<br />
кулоновской энергии и разностью масс нейтронов и<br />
протонов.
Пример<br />
Считая, что разность энергий связи<br />
зеркальных ядер определяется только различием<br />
энергий кулоновского отталкивания в этих ядрах,<br />
вычислить радиусы зеркальных ядер 23 Na, 23 Mg.<br />
E = МэВ,<br />
23<br />
св<br />
( Na) 186,56<br />
E = МэВ.<br />
23<br />
св<br />
( Mg) 181,72<br />
Кулоновская энергия равномерно заряженного<br />
шара радиуса R определяется соотношением<br />
E<br />
c<br />
2<br />
3 ZZ ( −1)<br />
e<br />
= . Обозначим заряд ядра 23 Na как Z ,<br />
5 R<br />
Z + . Тогда разность энергий<br />
а ядра 23 Mg — как 1<br />
связи ядер 23 Na и 23 Mg будет<br />
2 2<br />
32Ze<br />
6Ze<br />
Δ Eсв = Eсв ( A, Z) − Eсв ( A, Z + 1) =−Δ Ec<br />
= = .<br />
5 R 5 R<br />
Для радиуса ядра получаем<br />
R<br />
2<br />
6 Ze 6× 11× 1,44 МэВ⋅Фм<br />
= = ≈<br />
5 Δ E 5 × (186,56 −181,72) МэВ<br />
св<br />
3,9 Фм.<br />
На основе эмпирической зависимости<br />
1/3<br />
R = 1, 2 A Фм получаем<br />
R<br />
( ) ( )<br />
12<br />
R<br />
11<br />
Mg = Na = 1,2 × 23 = 3,4 Фм.<br />
23 23 1/3
Разность энергий связи ядер 7<br />
3<br />
Li и 7<br />
4<br />
Be равна ΔW<br />
= 1.7 МэВ. Определить радиус этих ядер.<br />
Из формулы для энергии связи ядер следует,<br />
что энергии связи ядер 7Li и 7Be отличаются<br />
3 4<br />
кулоновской энергией Е кул = γ⋅Z(Z−1) А− 13.<br />
Заменим А− 13 = 1.2Фм⋅R− 1.<br />
Радиус ядер<br />
3 7Li и 7<br />
4<br />
Be зависит только от А.<br />
Поэтому разность энергий связи ΔW ядер 7Li и 3<br />
7Be, равная разности кулоновских энергий:<br />
4<br />
Откуда<br />
ΔW = Е кул<br />
(Be) − Е кул(Li) =<br />
γ<br />
( 1.2Фм)<br />
Be Be Li Li<br />
−<br />
R<br />
γ<br />
=<br />
( 1.2Фм)<br />
⋅6<br />
R<br />
[ Z ( Z −1) − Z ( Z 1)<br />
]<br />
6γ<br />
0.72МэВ⋅1.2Фм⋅6<br />
R( Li, Be ) = 1.2Фм<br />
Δ<br />
W<br />
Пример<br />
=<br />
1.7МэВ<br />
≈ 3 Фм.<br />
=
Пример<br />
Оценить плотность ядерной материи.<br />
m N<br />
Масса одного нуклона в ядре<br />
−24<br />
= 1 а.е.м. = 1,66⋅ 10 г. Плотность<br />
ядерной материи есть масса ядра, деленная<br />
на его объем<br />
−24<br />
mNA<br />
3mNA<br />
3× 1,66⋅10 г<br />
ρ = = = =<br />
3 −13 3<br />
4 3<br />
π R<br />
4π<br />
rA<br />
0<br />
4× 3,14 × (1,3 ⋅10 см)<br />
3<br />
14 3 млн. тонн<br />
= 1,8 ⋅ 10 г/см = 180 .<br />
3<br />
см<br />
Плотность ядерной материи не зависит<br />
от A.
Дейтрон
Изоспин дейтрона I<br />
I = 0<br />
Дейтрон<br />
Дейтрон — связанная система,<br />
состоящая из одного протона и одного<br />
нейтрона.<br />
D<br />
≡<br />
2<br />
1<br />
H<br />
Энергия связи дейтрона<br />
W = ε = ε =<br />
p<br />
n<br />
2,2 МэВ<br />
Спин J, чётность P дейтрона<br />
J<br />
P<br />
= 1<br />
Магнитный момент дейтрона μ<br />
μ =<br />
+<br />
0,86μ<br />
Квадрупольный момент дейтрона<br />
0<br />
яд<br />
2<br />
Q<br />
0<br />
=+ 0,28 Фм<br />
Q
Вопрос<br />
Как определить спин и<br />
энергию связи дейтрона
Волновая функция дейтрона<br />
V ( r),<br />
u(<br />
r)<br />
e −γr<br />
Sin<br />
kr<br />
u(r)<br />
0<br />
−W<br />
(−2.2 МэВ)<br />
2 4 6 8<br />
r, Фм<br />
−V 0<br />
Уравнения Шредингера и его решения для дейтрона<br />
в областях 1 (r < R) и 2 (r > R) имеют вид<br />
2<br />
du1<br />
2<br />
ku<br />
2 1<br />
0,<br />
+ = u1 Asin<br />
kr<br />
dr<br />
2<br />
du2<br />
2<br />
− γ u<br />
2 2<br />
= 0, u2<br />
= Ce −γ<br />
r ,<br />
dr<br />
= ,<br />
k<br />
=<br />
γ =<br />
Радиусом дейтрона называют величину<br />
R<br />
d<br />
= 1/ γ ≈ 4,3 Фм,<br />
2 μ( V0<br />
−W) .<br />
<br />
2μW<br />
<br />
что наряду со сравнительно малой величиной его<br />
энергии связи W ≈ 2.2 МэВ указывает на «рыхлость»<br />
дейтрона. Он имеет такой же радиус, как и ядро с<br />
A = 40-50.<br />
.
Спиновые состояния дейтрона<br />
<br />
J = L + L + s + s<br />
p n p n<br />
L<br />
= 0, J = 1<br />
L<br />
= 0, J = 0<br />
Состояние отсутствует<br />
Антипараллельные спины нейтрона<br />
<br />
и протона в дейтроне s + s = 0<br />
невозможны, т.к. в этом случае<br />
L<br />
= J = 1 и чётность дейтрона<br />
должна быть отрицательной, что не<br />
соответствует экспериментальным<br />
данным.<br />
p<br />
n
Потенциал нуклон-нуклонного<br />
нуклонного<br />
взаимодействия<br />
L<br />
= 0, J = 0<br />
Динейтрон не существует<br />
L<br />
= 0, J = 0<br />
Дипротон не существует<br />
То, что дейтрон существует в состоянии с<br />
параллельными спинами протона и нейтрона и<br />
не существует связанных состояний двух<br />
нейтронов (динейтрон) и двух протонов<br />
(дипротон) является указанием на то, что<br />
ядерные силы между нуклонами зависят от<br />
спина<br />
<br />
V() r = V () r + V ()( r s s )<br />
1 2 1 2
Вопрос<br />
Почему не существует связанных<br />
состояний из двух протонов или двух<br />
нейтронов
Магнитный момент дейтрона<br />
L = 0<br />
<br />
μ = μ + + + =<br />
0<br />
( g ( ) ( ) ( ) ( ) )<br />
L<br />
p Lp gL n Ln gs p sp gs n sn<br />
[ ]<br />
= μ 0+ 0+ 2⋅2,79⋅ 1/2+ 2 ⋅( −1,91) ⋅ 1/2 = 0,88μ<br />
0 0<br />
Отличие рассчитанной величины магнитного момента<br />
μ = 0,88μ0<br />
в состоянии с L = 0 от экспериментального<br />
значения μ = 0,86μ0<br />
свидетельствует о том, что в<br />
основном состоянии дейтрона имеется примесь<br />
компонента L = L = 1.<br />
p<br />
n<br />
L =<br />
1<br />
Величина магнитного момента состояния нейтрона<br />
L<br />
= L = 1.<br />
p n<br />
<br />
μ = μ + + + =<br />
0<br />
( g ( ) ( ) ( ) ( ) )<br />
L<br />
p Lp gL n Ln gs p sp gs n sn<br />
[ ]<br />
= μ 1+ 0 −2⋅2,79⋅1/ 2 −2 ⋅( −1,91) ⋅ 1/ 2 = 0,12μ<br />
0 0<br />
Долю состояния Lp<br />
= Ln<br />
= 1 можно определить, сравнивая<br />
результирующую величину магнитного момента дейтрона<br />
2<br />
с экспериментальным значением. Величина L<br />
1<br />
= 0,96, т,е.<br />
примесь состояния L = 1 составляет всего 4%.<br />
2 2<br />
⎧α1 ⋅ 0,88 + α2<br />
⋅ 0,12 = 0,86<br />
⎪<br />
⎨<br />
⎪⎩ α<br />
+ α = 1<br />
2 2<br />
1 2<br />
α<br />
2<br />
= 0,96<br />
1
Квадрупольный момент<br />
дейтрона<br />
Q = + 0, 28 Фм<br />
2<br />
0<br />
<br />
V = V ()( r s ⋅n)( s ⋅n)<br />
3 1 2<br />
Примесь компоненты L = 1 в основное<br />
состояние дейтрона и положительная<br />
величина квадрупольного момента<br />
2<br />
Q =+ означает, что дейтрон<br />
0<br />
0,28 Фм<br />
имеет форму отличную от сферически<br />
симметричной, и что ядерные силы между<br />
нуклонами зависят от того, как<br />
направлены спины нуклонов s 1, s <br />
2<br />
относительно вектора n , направленного от<br />
одного нуклона к другому, т.е. ядерные<br />
силы – нецентральные.<br />
Потенциал нуклон-нуклонного<br />
взаимодействия<br />
<br />
V = V () r + V ()( r ss ) +<br />
1 2 1 2<br />
<br />
+ V ()( r s ⋅n)( s ⋅ n)<br />
+ …<br />
3 1 2
Ядерный<br />
потенциал
Ядерный потенциал<br />
В первом приближении можно считать ядерный<br />
потенциал сферически симметричным. В качестве<br />
потенциалов используют<br />
пямоугольную потенциальную яму V nя<br />
V пя (r) =<br />
⎧<br />
⎪<br />
⎨<br />
⎪⎩<br />
−V , r ≤ R ,<br />
0<br />
0, r ≥ R.<br />
осцилляторный потенциал V ОСЦ ,<br />
V осц (r) = − V<br />
0 + 1 Mω 2 r 2 ,<br />
2<br />
потенциал Вудса-Саксона V BC .<br />
V<br />
ВС<br />
() r = −<br />
1+<br />
В легких ядрах (A = 10) реалистический потенциал<br />
лучше воспроизводится осцилляторным, а в<br />
тяжелых (A = 200) – прямоугольным.<br />
V<br />
0<br />
r R<br />
e − .<br />
a
Ядерный потенциал<br />
Решение уравнения Шредингера для кулоновского<br />
потенциала, потенциала прямоугольной ямы и<br />
потенциала гармонического осциллятора.<br />
2<br />
H<br />
Ψ= EΨ<br />
d L( L+<br />
1) 2m { − + [ E − V ]} U ( r ) = 0<br />
dr<br />
2<br />
r<br />
2<br />
<br />
2<br />
Последовательность одночастичных состояний<br />
зависит от потенциала V()<br />
r .
Потенциал гармонического<br />
осциллятора<br />
Уровни гармонического осциллятора<br />
эквидистантны. Расстояние между ними<br />
даётся выражением<br />
<br />
ω<br />
2 1/2<br />
⎛2V<br />
⎞<br />
=<br />
0<br />
⎜<br />
2<br />
⎟ ≈ ⋅<br />
⎜<br />
⎝<br />
MR<br />
⎟<br />
⎠<br />
−13<br />
41 А МэВ<br />
С ростом числа нуклонов A расстояние<br />
между оболочками уменьшается.<br />
A ≈ 20 → ћω ≈ 15 МэВ,<br />
А ≈ 200 → ћω ≈ 8 МэВ.<br />
Для уровней гармонического осциллятора<br />
характерно вырождение по орбитальному<br />
моменту l нуклона.
Модель<br />
оболочек
Заполнение ядерных оболочек<br />
Заполнение оболочек нуклонами происходит<br />
в соответствии с принципом Паули. В<br />
основном состоянии заняты самые нижние<br />
уровни. Одночастичные уровни для протонов<br />
и нейтронов заселяются независимо.<br />
Число нуклонов одного типа l<br />
подоболочке<br />
ν<br />
l = 2(2l + 1),<br />
(2l + 1) – число ориентаций вектора l ,<br />
= 1 <br />
2 – число ориентаций спина нуклона s<br />
2 .<br />
ν<br />
на
Спин -<br />
орбитальное<br />
взаимодействие
Спин-орбитальное<br />
взаимодействие<br />
Спин-орбитальные силы играют существенную роль<br />
в атомных ядрах. С учётом спин-орбитального<br />
взаимодействия ядерный потенциал имеет вид<br />
V(r) = V 1 ( r)<br />
+ V 2 ( r)<br />
⋅ls<br />
При учете спин – орбитального взаимодействия<br />
снимается вырождение по полному моменту j<br />
нуклона в пределах одной оболочки, который при<br />
данном l в зависимости от ориентации спина<br />
нуклона, принимает два значения:<br />
j = l ± 1/2.<br />
Происходит расщепление состояния данного l на два<br />
состояния с разной взаимной ориентацией l и s .<br />
Каждый одночастичный уровень расщепляется на<br />
два. Ниже по энергии опускается уровень с j = l + 1/2,<br />
так как в этом случае нуклон сильнее<br />
взаимодействует с остальными. Состояние<br />
характеризуется полным моментом нуклона j.<br />
Величину j указывают в качестве нижнего индекса<br />
при l.<br />
Так, вместо уровня 1p появляются два уровня 1р1<br />
2<br />
1р<br />
3<br />
2<br />
. Величина расщепления, тем больше, чем<br />
больше l. Начиная с уровня 1g, затем 1h и т. д., lsрасщепление<br />
становится сравнимым с расстоянием<br />
между соседними осцилляторными оболочками.<br />
Расщепление уровней с l ≥ 4 настолько велико, что<br />
нижний уровень оболочки с максимальным j и l<br />
сильно опускается вниз по энергии и оказывается в<br />
предыдущей оболочке. Это относится к уровням<br />
1g , 1h<br />
11 2 , 1i<br />
13 2 и 1 j<br />
15 2 , которые попадают<br />
9<br />
2<br />
соответственно в 4-ю, 5-ю, 6-ю и 7-ю оболочки. В<br />
результате происходит перегруппировка уровней в<br />
оболочках.<br />
и
Спин орбитальное взаимодействие<br />
V V <br />
∼ () rls<br />
l<br />
ls<br />
j<br />
= l −<br />
1/2<br />
j<br />
= l +<br />
1/2<br />
Состояние |n,l,l z ,s, s z ><br />
Число частиц N(l) одного типа на уровне с<br />
орбитальным моментом l<br />
N(l)=(2l+1)·2<br />
Состояние |n,l,j=l+s,j z ><br />
Число частиц одного типа N(j) на уровне nlj<br />
N(j)=2j+1
Пример<br />
Определить число частиц одного типа в<br />
состояниях 1d,1d 3/2 1d 5/2<br />
d<br />
1d<br />
10<br />
→ l =<br />
2<br />
1d 3/2<br />
4<br />
1d 5/2<br />
6<br />
N(l=2) = 2(2l+1)=10<br />
N(j=5/2) = 2j+1=6<br />
N(j=3/2) = 2j+1=4<br />
В состоянии 1d может находится 10<br />
протонов и 10 нейтронов.<br />
В состоянии 1d 3/2 ,может находится 4<br />
протона и 4 нейтрона.<br />
В состоянии 1d 5/2 ,может находится 6<br />
протонов и 6 нейтронов.<br />
Полное число нуклонов в состоянии 1d<br />
равно суммарному числу нуклонов в<br />
состояниях 1d 3/2 и 1d 5/2
Ядерный потенциал<br />
|l, s , j, j z ><br />
n=2j+1<br />
Спин-орбитальное взаимодействие приводит к<br />
перераспределению ядерных уровней между<br />
оболочками. В результате число нуклонов,<br />
заполняющих оболочки, оказывается в согласии с<br />
экспериментальными значениями магических<br />
чисел.
Спин-орбитальное<br />
взаимодействие<br />
Ярким проявлением спин-орбитального взаимодействия<br />
является поляризация протонов при рассеянии на ядре 4 He.<br />
Неполяризованный пучок протонов проходит через щель I и<br />
рассеивается на ядре 4 He(I). Протоны, проходящие через точку а,<br />
имеют орбитальный момент L = [ r⋅ p]<br />
, направленный вверх<br />
относительно плоскости рассеяния. Направление вектора L ,<br />
проходящего через точку b противоположно. Если считать, что<br />
преимущественно рассеиваются протоны с параллельно<br />
ориентированными орбитальными и спиновыми моментами, то<br />
выделение части пучка протонов, прошедшего через щель II,<br />
означает отбор протонов, имеющих спины, направленные<br />
преимущественно вверх. Т.е. происходит частичная поляризация<br />
пучка протонов. В этом можно убедиться, если вторично<br />
рассеивать этот частично поляризованный пучок протонов на<br />
втором ядре 4 He(II) . При это оказывается, что при вторичном<br />
рассеянии проявляется асимметрия пучка протонов —<br />
интенсивность пучка будет больше с той стороны, где<br />
орбитальный момент L протонов по отношению к 4 He(II) имеет<br />
такое же направление, как и спин протонов. Т.е. протоны будут<br />
чаще попадать в детектор I по сравнению с детектором II, если<br />
детекторы расположены симметрично по отношению к<br />
направлению пучка протонов, проходящего через щель II.
Потенциал нуклон-нуклонного<br />
нуклонного<br />
взаимодействия<br />
<br />
V V V ss<br />
+<br />
+<br />
= () r + ()( r )<br />
1 2 1 2<br />
<br />
()( r n)( n)<br />
3 1 2<br />
<br />
()( r L )<br />
V s s<br />
V<br />
4<br />
s<br />
Нуклон-нуклонное взаимодействие можно описать с<br />
помощью потенциала, зависящего от нескольких<br />
величин<br />
• расстояния между нуклонами,<br />
• взаимной ориентации спинов нуклонов,<br />
• нецентрального характера ядерных сил,<br />
• величины спин-орбитального взаимодействия.<br />
Все члены в потенциале нуклон-нуклонного<br />
взаимодействия сравнимы по величине. Основной<br />
вклад имеет потенциал центральных сил V () r 1 , спинорбитальные<br />
V () r 4 и тензорные V () 3<br />
r силы меньше<br />
в несколько раз. Для сравнения следует помнить, что<br />
для кулоновского взаимодействия в атоме<br />
зависящие от спинов части потенциала составляют<br />
~1% от центральной части потенциала<br />
qq<br />
r<br />
1 2<br />
.
Ядерная модель оболочек<br />
Maria Goeppert-Meyer J. Hans D. Jensen<br />
(1906-1972) (1906-1973)<br />
l<br />
j<br />
= l −<br />
1/2<br />
j<br />
= l +<br />
1/2<br />
Нобелевская премия по физике<br />
1963 г. — М. Гепперт-Майер и Г. Йенсен<br />
За открытия в области ядерной модели оболочек.
Модель оболочек<br />
Одночастичные уровни<br />
в сферически-симметричном потенциале.
Нейтронные одночастичные<br />
состояния<br />
Зависимость энергии нейтронных<br />
одночастичных состояний от массового числа A
Спин<br />
атомного ядра
Спин ядра J<br />
<br />
J s s s<br />
A l l l A<br />
= j + j + ... + j<br />
= 1 + 2 + ... + + 1 + 2 + ... + =<br />
1 2<br />
Атомное ядро в каждом состоянии<br />
характеризуется полным моментом<br />
количества движения J. Этот момент в<br />
системе покоя ядра называется спином<br />
ядра.<br />
Для спинов атомных ядер выполняются<br />
следующие закономерности:<br />
• A − чётное J = n (n = 0, 1, 2, 3,...), т. е. целое;<br />
• A – нечётное J = n + 1/2, т. е.<br />
полуцелое.<br />
A<br />
•Чётно-чётные ядра в основном<br />
состоянии имеют J = 0. Это указывает на<br />
взаимную компенсацию моментов нуклонов<br />
в основном состоянии ядра – особое<br />
свойство межнуклонного взаимодействия.
Силы спаривания<br />
1P 3/2<br />
Между любой парой нуклонов одного типа на уровне<br />
действует дополнительное взаимодействие не сводящееся к<br />
центрально симметричному V(r). Это взаимодействие V ост<br />
называется остаточным. Свойства V ост таковы, что паре<br />
нуклонов одного сорта на одном уровне выгодно иметь<br />
результирующий момент равный нулю. V ост снимает<br />
вырождение по J этой пары так, что низшим оказывается<br />
состояние с J = 0, что является проявлением сил<br />
спаривания. Дополнительная энергия связи ядра за счёт сил<br />
спаривания 1-3 МэВ.<br />
Возникновение сил спаривания в ядрах обусловлено<br />
особенностями взаимодействия в системе нуклонов. На<br />
характерных ядерных расстояниях нуклоны притягиваются,<br />
и им энергетически выгодно находиться на одном и том же<br />
уровне в состояниях, характеризуемых одними и теми же<br />
числами nlj. Энергетически наиболее выгодно нахождение в<br />
одном состоянии нуклонов одного типах. Наиболее<br />
устойчивой при этом оказывается пара нуклонов с<br />
противоположно направленными моментами, т. е. с + j z и<br />
− j z . Такая пара нуклонов обладает максимально возможным<br />
набором совпадающих квантовых чисел, и, соответственно,<br />
волновые функции нуклонов этой пары характеризуются<br />
наибольшим перекрытием. Результирующий полный момент<br />
и чётность такого состояния<br />
J Р = 0 + .
Чётность<br />
ядерных<br />
состояний
Четность ядра P<br />
Четность ядра Р как системы нуклонов определяется<br />
произведением четностей отдельных нуклонов р i<br />
:<br />
P = р ⋅р ⋅⋅⋅ р<br />
1 2 А<br />
четность нуклона в центральном поле<br />
р = π p = π ⋅− ( 1) l i<br />
,<br />
i i i i<br />
π − внутренняя четность нуклона, равная +1. Поэтому<br />
i<br />
четность ядра в сферически симметричном состоянии<br />
определяется произведением орбитальных четностей<br />
( − 1) l α нуклонов в этом состоянии:<br />
Р = ( −1) l 1 ( −1) l 2<br />
⋅⋅⋅( − 1) l A = ( 1)<br />
∑ l<br />
α α<br />
−<br />
Четность ядерного состояния Р указывает на<br />
симметрию волновой функции Ψ ядерного состояния<br />
относительно операции зеркального отображения<br />
пространства Р.<br />
P ˆΨ = p Ψ<br />
На схемах ядерных уровней обычно указывают<br />
энергию, спин и чётность каждого уровня. Спин<br />
указывается числом, а чётность знаком плюс для<br />
чётных и минус для нечётных уровней. Этот знак<br />
ставится справа сверху от числа, указывающего спин.<br />
Например, символ 1/2 + обозначает чётный уровень со<br />
спином 1/2, а символ 3 − обозначает нечётный уровень со<br />
спином 3.
Спины J и чётности P<br />
основных состояний ядер<br />
− чётно-чётное ядро J P = 0 + ;<br />
− нечётное ядро J = j; ( 1) l<br />
P = − ;<br />
− нечётно-нечётное ядро<br />
j - j ≤ J ≤ j + j<br />
p n p n<br />
P=(-1)<br />
j, l, j p , l p , j n , l n - полный и орбитальный<br />
оменты нечётного протона или нейтрона.<br />
l<br />
p<br />
+<br />
l<br />
n<br />
;
Пример<br />
На основании одночастичной модели<br />
оболочек определить значения спинов и<br />
P<br />
четностей J основных состояний<br />
изотопов кислорода — 15 O, 16 O, 17 O, 18 O.<br />
Изотопы 16 O и 18 O четно-четные, то<br />
есть имеют в основном состоянии спин и<br />
P +<br />
четность J = 0 . Спин и четность ядра<br />
15 O определяются «нейтронной дыркой»<br />
(по отношению к четно-четному ядру 16 O)<br />
в состоянии 1p<br />
1/2. Спин ядра J равен<br />
полному моменту «нейтронной дырки» в<br />
этом состоянии J = 1/2, а четность<br />
определяется орбитальным моментом l<br />
нуклона в данном состоянии<br />
l 1<br />
P −<br />
P = ( − 1) = ( − 1) =− 1, то есть J = 1/2 .<br />
Спин и четность ядра 17 O определяется<br />
одним нейтроном в состоянии 1d<br />
5/2<br />
сверх<br />
четно-четного остова ядра 16 O. Для ядра<br />
P +<br />
J = .<br />
17 O 5/2
Магнитный<br />
дипольный<br />
момент ядра
Магнитный дипольный<br />
момент ядра<br />
Величина магнитного дипольного<br />
момента ядра μ определяет его<br />
энергию E взаимодействия с<br />
магнитным полем H .<br />
Магнитный дипольный момент ядра<br />
имеет орбитальную и спиновую<br />
компоненты<br />
<br />
A<br />
μ = μ ∑<br />
<br />
+<br />
я 0 l i s i<br />
i=<br />
1<br />
Магнитный момент протона<br />
μ =+ 2,79μ<br />
p<br />
0<br />
(<br />
i i<br />
) gl gs<br />
Магнитный момент нейтрона<br />
μ =− 1,91μ<br />
n<br />
0<br />
μ<br />
0<br />
e<br />
= = 3.15⋅10<br />
mc<br />
2 p<br />
−18<br />
МэВ<br />
Гаусс
Магнитный дипольный<br />
момент ядра<br />
E<br />
<br />
=−μH<br />
⎛ <br />
μ = ⎜∑gl<br />
+<br />
⎝ A<br />
∑<br />
<br />
gs<br />
l i s i<br />
A<br />
⎞<br />
⎟μ0<br />
⎠<br />
g<br />
l<br />
⎧1 p ⎧2 ⋅(2,79)<br />
= ⎨ gs<br />
= ⎨<br />
⎩0 n ⎩2 ⋅− ( 1,91)<br />
p<br />
n<br />
μ<br />
0<br />
e<br />
−24 эрг<br />
−18<br />
МэВ<br />
= = 510 ⋅ = 3,1510 ⋅<br />
2mc<br />
Гаусс Гаусс<br />
p<br />
реднее значение результирующего вектора<br />
=<br />
l<br />
+<br />
s<br />
из-за квантовых флюктуаций<br />
меет отличную от нуля составляющую μ ,<br />
<br />
μ μ μ<br />
аправленную по направлению спина ядра<br />
J или против направления спина ядра J .<br />
J
Магнитные моменты ядер<br />
Нечётное Z<br />
Нечётное N<br />
1 1<br />
j = l+ μ = j− + μp<br />
μn<br />
2 2<br />
1 j ⎛1<br />
⎞ j<br />
j = l− μ = j+ ⎜ −μp⎟<br />
− μn<br />
2 j+ 1⎝2 ⎠ j+<br />
1<br />
В одночастичной модели ядра магнитный момент<br />
нечётных ядер обусловлен магнитным моментом<br />
неспаренной нечётной частицы.
Изоспин<br />
атомных ядер
Изоспин атомных ядер<br />
Полный изоспин A нуклонов<br />
<br />
I<br />
A<br />
I α<br />
α = 1<br />
= ∑<br />
Все состояния ядра имеют проекцию<br />
Z − N<br />
изоспина I3 =<br />
2 .<br />
В ядре A нуклонов, каждый из которых<br />
имеет изоспин I = 2<br />
1 . Поэтому возможные<br />
значения изоспина<br />
<br />
Z − N A<br />
≤ I ≤<br />
2 2 .<br />
Минимальное значение I = I3<br />
.<br />
A<br />
Максимальное значение I равно<br />
2<br />
и<br />
отвечает всем I α , направленным в одну<br />
сторону.<br />
Опытным путём установлено, что энергия<br />
возбуждения ядерного состояния тем выше,<br />
чем больше значение изоспина. Поэтому<br />
изоспин ядра в основном состоянии I gs<br />
имеет минимальное значение<br />
Z − N<br />
Igs<br />
= I3 =<br />
.<br />
2<br />
.
Аналоговые состояния ядер<br />
Изоспины основных состояний ядер 7<br />
3<br />
Li, 7<br />
4<br />
Be<br />
I gs = 1/2. Основные состояния этих ядер<br />
образуют изодублет. Для того, чтобы из ядра<br />
7 I = −1/2), находящегося в основном<br />
3 Li ( 3<br />
состоянии, получить ядро 7Be ( 4 3<br />
I = +1/2) в<br />
основном состоянии, нужно совершить<br />
поворот в изопространстве, в результате<br />
которого один из нейтронов ядра лития<br />
превратится в протон. При таком повороте все<br />
остальные квантовые характеристики у<br />
преобразованного нейтрона (орбитальный<br />
момент, проекция спина, четность и др.)<br />
сохраняются и переходят к протону.<br />
Остальные нуклоны при этом преобразовании<br />
не изменяют свои квантовые характеристики.<br />
В итоге получается система из четырех<br />
протонов и трех нейтронов – ядро 7Be<br />
в 4<br />
которой все нуклоны остались в тех же<br />
индивидуальных состояниях, в которых они<br />
были до поворота в ядре 7Li<br />
т. е. ядро<br />
3<br />
бериллия окажется в основном состоянии, как<br />
и ядро лития. То, что основные состояния<br />
бериллия и лития эквивалентны,<br />
доказывается одним и тем же значением<br />
спинов и четностей (3/2 − ) их основных<br />
состояний.
Аналоговые состояния<br />
ядер 7 Li, 7 Be<br />
∆Е<br />
Изодублеты (I = 1/2) уровней ядер 7 3 Li и 7 4 Be
Аналоговые состояния ядер<br />
14 С, 14 N, 14 O<br />
0<br />
2,31 МэВ<br />
0<br />
0<br />
Зеркальные ядра являются частным случаем<br />
ядерных состояний, принадлежащих к одному<br />
изомультиплету. Примерами аналоговых состояний<br />
могут служить основные состояния ядер<br />
14<br />
14<br />
P +<br />
C(6 p, 8 n, J = 0 , T = 1, T3<br />
=− 1) ,<br />
P +<br />
O(8 p, 6 n, J = 0 , T = 1, T =+ 1)<br />
и первое возбужденное состояние ядра<br />
14<br />
P +<br />
N(7 p, 7 n, J = 0 , T = 1, T = 0) с энергией 2,31 МэВ.<br />
3<br />
Таким образом, в изомультиплет входят состояния с<br />
P<br />
одинаковыми значениями J и T в соседних ядрах<br />
изобарах. Так как проекция изоспина T<br />
3<br />
принимает<br />
2T + 1 значение, изомультиплет образуют<br />
2T + 1 ядерных уровней.<br />
3
Пример<br />
В ядре 90 Zr (Z = 40) возбуждается состояние,<br />
имеющее изоспин I = 6. Показать, что распад<br />
этого состояния в основное состояние ядра 89 Zr с<br />
испусканием нейтрона невозможен.<br />
Величины изоспинов основных состояний ядер<br />
89 Y и 89 Zr:<br />
39 − 50<br />
2<br />
11<br />
2<br />
I( 89 Y) = = , I( 89 Zr)<br />
Величины изоспина протона и нейтрона<br />
I(p) = I(n) = 2<br />
1<br />
.<br />
40 − 49 9<br />
= =<br />
2 2<br />
.<br />
Распады состояния I = 6 ядра 90 Zr с испусканием<br />
протона и нейтрона происходят в результате<br />
сильного взаимодействия. Поэтому из закона<br />
сохранения изоспина следует невозможность<br />
распада состояния ядра 90 Zr I = 6 с испусканием<br />
нейтрона<br />
<br />
<br />
89 9 1 <br />
I( Y)+I(n)= + = 4, 5 ≠6<br />
<br />
2 2
Вопрос<br />
Какие возможны значения изоспина<br />
ядра A′, образующегося в реакции<br />
d + A→ p+ A′ ,<br />
• если ядро A является<br />
самоспряженным ( N = Z),<br />
• если ядро A имеет изоспин I = 3/2
Симметрия атомных ядер<br />
Eugene Wigner<br />
(1902-1995)<br />
Нобелевская премия по физике<br />
1963 г. — Э. Вигнер<br />
За вклад в теорию атомного ядра и<br />
элементарных частиц, в частности, за<br />
открытие и применение фундаментальных<br />
принципов симметрии.
Деформированные<br />
ядера
Квадрупольный момент ядра<br />
1<br />
Q ()(3 r Z<br />
2<br />
r<br />
2<br />
) dV<br />
0<br />
= ∫<br />
e ρ −<br />
Q<br />
0<br />
— собственный квадрупольный момент,<br />
Q — наблюдаемый квадрупольный момент.<br />
Q<br />
=<br />
J(2J−1)<br />
( J+ 1) ⋅ (2J+<br />
3)<br />
Q<br />
0
Квадрупольные моменты ядер<br />
Электрический квадрупольный момент ядра.<br />
2 2 2 2<br />
Q (3 z r ) ( r) dv r (3cos 1) ( r)<br />
dv<br />
0<br />
1 1<br />
<br />
= − ρ = θ − ρ<br />
e∫<br />
e∫<br />
ρ( r ) − распределение плотности заряда в ядре, е − величина<br />
элементарного электрического заряда.<br />
Для сферически симметричного распределения заряда, т. е. при<br />
ρ( r ) ≡ ρ(r), квадрупольный момент Q 0 обращается в нуль. Отличие<br />
величины Q 0 от 0 характеризует отличие распределения заряда<br />
ядра от сферически симметричного, т. е. характеризует форму<br />
ядра.<br />
Подавляющее большинство несферических ядер имеет форму<br />
аксиально-симметричного эллипсоида.<br />
Q 0 > 0 ядро – вытянутый вдоль оси z эллипсоид.<br />
Q 0 < 0, ядро сплюснутый вдоль оси эллипсоид. Знак Q 0 определяет<br />
характер отклонения формы ядра от сферической (его<br />
вытянутость или сплюснутость), т. е. характер деформации ядра.<br />
Квадрупольный момент, как и эффективное сечение, измеряется<br />
в барнах (1б = 10 −24 см 2 = 100 Фм 2 ).<br />
Наблюдаемые значения моментов всегда меньше собственных<br />
значений. Что является неизбежным следствием квантовых<br />
эффектов.<br />
Собственный квадрупольный момент однородно заряженного<br />
эллипсоида<br />
Q 0 = 2 5 Z⋅(b2 − a 2 ),<br />
где b и a – длинная и короткая полуоси эллипсоида.<br />
Для оценки степени отклонения формы ядра от сферической<br />
вводят параметр деформации β и средний радиус ядра R ,<br />
определяемые соотношениями<br />
b−<br />
a 1 b − a<br />
β = =<br />
1 2<br />
2<br />
( b+<br />
a)<br />
R<br />
2<br />
0<br />
2 2<br />
2 4<br />
= − =<br />
.<br />
5 5<br />
2 2 2<br />
Q Z( b a ) ZR β<br />
,<br />
1<br />
R= ( b+ a ) ,<br />
2
Квадрупольные моменты ядер<br />
Наблюдаемые квадрупольные моменты ядер Q<br />
Q<br />
=<br />
J(2J<br />
− 1)<br />
( J + 1) ⋅ (2J<br />
+ 3)<br />
Q<br />
0
Квадрупольные моменты ядер<br />
Наблюдаются следующие<br />
закономерности квадрупольных<br />
моментов ядер.<br />
1). Квадрупольные моменты магических<br />
ядер (Z, N = 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126) равны<br />
нулю . Эти ядра сферические или близки<br />
кним.<br />
2). Квадрупольные моменты растут при<br />
отходе от магических ядер, достигая<br />
наибольших значений в середине между<br />
магическими числами.<br />
3). Большие величины квадрупольных<br />
моментов характерны для вытянутых<br />
ядер (Q > 0). Число вытянутых ядер<br />
больше, чем сплюснутых.
Форма ядра<br />
Форма атомных ядер может изменяться в<br />
зависимости от того в каком возбужденном<br />
состоянии оно находится. Так, например, ядро<br />
186<br />
Pb в основном состоянии (0 + ) сферически<br />
симметрично, в первом возбужденном<br />
состоянии 0 + имеет форму сплюснутого<br />
эллипса, а в состояниях 0 + ,2 + , 4 + ,6 + форму<br />
вытянутого эллипсоида.
Пример<br />
Известно, что внутренний электрический<br />
квадрупольный момент Q<br />
0<br />
ядра<br />
175 Lu равен<br />
+5,9 Фм 2 . Какую форму имеет это ядро Чему<br />
равен параметр деформации этого ядра<br />
Для равномерно заряженного аксиально<br />
симметричного эллипсоида, имеющего заряд Ze<br />
2 (<br />
2 2 )<br />
Q0<br />
= Z b − a , где b — полуось эллипсоида,<br />
5<br />
направленная по оси симметрии z , a a — по осям<br />
2 2<br />
1 b − a<br />
x и y . Параметр деформации ядра β = ,<br />
2<br />
2 R<br />
( b+<br />
a)<br />
где R = — средний радиус ядра. Тогда<br />
2<br />
5 Q0<br />
5×<br />
5,9<br />
β = = = 0,002.<br />
1/3<br />
2 1/3 2<br />
4 Z r A 4× 71 × (1,2×<br />
175 )<br />
( ) 0<br />
Здесь учтено, что при малых деформациях<br />
1/3<br />
R ≈ R= r0<br />
A . Так как Q<br />
0<br />
> 0, то b> a, и ядро<br />
представляет из себя эллипсоид вытянутый<br />
вдоль оси симметрии z .
Пример<br />
Внешний наблюдаемый квадрупольный<br />
момент ядра<br />
85 Rb Q = 0,7 б. Определить<br />
собственный квадрупольный момент ядра Q<br />
0,<br />
если спин ядра 85 Rb равен J = 5/2.<br />
Внешний наблюдаемый электрический<br />
квадрупольный момент ядра в лабораторной<br />
системе координат Q связан с собственным<br />
квадрупольным моментом ядра Q0<br />
соотношением<br />
Q<br />
=<br />
J(2J<br />
−1)<br />
Q<br />
( J + 1)(2J<br />
+ 3)<br />
где J — спин ядра. Отсюда<br />
0<br />
,<br />
Q<br />
0<br />
7/2×<br />
8<br />
= Q=<br />
1,96 б.<br />
5/2×<br />
4
Одночастичные состояния в<br />
деформированных ядрах<br />
Для того, чтобы получить одночастичные состояния в<br />
деформированных ядрах, необходимо решить уравнение<br />
Шредингера для нуклона, находящегося в потенциальной яме,<br />
имеющей форму вытянутого или сплюснутого аксиальносимметричного<br />
эллипсоида. Конкретные расчеты были<br />
выполнены для аксиально-симметричного потенциала<br />
гармонического осциллятора – потенциала Нильссона.<br />
1<br />
<br />
V ( r) = M ⎡ω<br />
( x + y ) + ω z ⎤+ Cls + Dl<br />
2 ⎣<br />
⎦<br />
2 2 2 2 2 2<br />
Нильс xy z<br />
Положение одночастичных уровней в потенциале<br />
Нильссона зависит от величины и знака параметра<br />
деформации β.<br />
⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞<br />
ωz<br />
= ω0⎜1 + β⎟, ωxy<br />
= ω0⎜1+<br />
β⎟<br />
⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ .<br />
В сферически-симметричной потенциальной яме состояния<br />
нуклона характеризуются квантовыми числами орбитального l и<br />
полного моментов j = l ± 1/2, причем уровни вырождены по<br />
<br />
проекции момента j на ось z , т.е. кратность вырождения равна<br />
2j + 1. В деформированном ядре состояния нуклона нельзя<br />
характеризовать квантовыми числами l и j . Однако так как<br />
сохраняется симметрия относительно поворотов вокруг оси z<br />
(аксиальная симметрия), то момент количества движения,<br />
создаваемый нуклоном, характеризуют квантовым числом K<br />
проекции момента j на ось симметрии z.<br />
Деформация частично снимает вырождение, присущее<br />
одночастичным уровням сферического потенциала, расщепляя<br />
состояния с разными значениями модуля K . В силу симметрии<br />
ядра относительно отражения в плоскости симметрии состояния<br />
с + K и − K остаются вырожденными, и их характеристики<br />
P<br />
описываются квантовыми числами K .<br />
,
Одночастичные состояния в<br />
деформированных ядрах<br />
<br />
V (r)= Cls+ Dl<br />
Нильс<br />
1 2<br />
M(ω<br />
2 2 2 2 2<br />
xy (x + y )+ ω<br />
z z )+<br />
2
Возбужденные<br />
состояния<br />
атомных ядер
Характеристики ядерных<br />
состояний<br />
Диаграмма уровней ядра строится следующим<br />
образом. Состояние с наибольшей энергией<br />
связи ядра, т. е. с наименьшей полной энергией<br />
Е, называют основным (ground state).<br />
Состояния с большей полной энергией –<br />
возбуждённые. Нижнему по энергии состоянию<br />
приписывается нулевой индекс и энергия<br />
E = .<br />
0<br />
0<br />
E → Mc<br />
2<br />
= ( Zm + Nm ) c<br />
2<br />
− W<br />
0 p n<br />
0,<br />
W — энергия связи ядра в основном состоянии<br />
0<br />
E ( i = 1, 2,<br />
Энергии<br />
i<br />
…) возбуждённых состояний<br />
отсчитываются от основного состояния.<br />
Нижние уровни ядра дискретны. При<br />
увеличении энергии возбуждения среднее<br />
расстояние между уровнями уменьшается.<br />
На схемах ядерных уровней обычно<br />
указывают энергию, спин и чётность каждого<br />
уровня. Спин указывается числом, а чётность<br />
знаком плюс для чётных и минус для нечётных<br />
уровней. Этот знак ставится справа сверху от<br />
числа, указывающего спин. Например, символ<br />
1/2 + обозначает чётный уровень со спином 1/2, а<br />
символ 3 − обозначает нечётный уровень со<br />
спином 3.
Пример.<br />
Характеристики ядерных<br />
состояний<br />
МэВ<br />
1,96<br />
5<br />
+<br />
2<br />
1,61<br />
7<br />
+<br />
2<br />
0,98<br />
3<br />
+<br />
2<br />
0,58<br />
1<br />
+<br />
2<br />
0,00<br />
25 Mg<br />
5<br />
+<br />
2<br />
Схема нижних уровней ядра 25<br />
12 Mg
Одночастичные<br />
возбуждения атомных ядер<br />
Одночастичные возбуждённые<br />
состояния ядер возникают при переходе<br />
одного или нескольких нуклонов на<br />
более высокие одночастичные орбиты.
Одночастичные нейтронные<br />
состояния<br />
В одночастичной модели оболочек наиболее<br />
просто выглядит спектр возбуждённых<br />
состояний ядер с одним нуклоном или<br />
«дыркой» сверх заполненных оболочек.<br />
Нижние возбуждения такого ядра образуются<br />
перемещением этого внешнего нуклона на<br />
более высокие подоболочки ядра.<br />
Примерами возбуждений такого типа<br />
являются нижние возбужденные состояния<br />
ядер<br />
209<br />
82<br />
Pb и Pb<br />
207<br />
82 .
Коллективные возбуждения<br />
атомных ядер<br />
Ряд факторов свидетельствует о<br />
существовании коллективных<br />
степеней свободы ядер. Так, при<br />
малых энергиях возбуждения<br />
E ≤ 4 МэВ у многих ядер<br />
возб<br />
уровней, отвечающие гармоническим<br />
наблюдаются последовательности<br />
колебаниям ядерной поверхности,<br />
либо как вращательные полосы<br />
энергии, возникающие из-за<br />
вращения деформированного ядра<br />
как целого. Коллективная природа<br />
этих уровней подтверждается<br />
интенсивными квадрупольными<br />
электромагнитными переходами<br />
между ними, а также большой<br />
величиной квадрупольного момента<br />
ядер, имеющих постоянную<br />
деформацию.
Колебательные состояния<br />
сферических ядер<br />
J = 0 J = 1<br />
J = 2 J = 3<br />
монопольные дипольные квадрупольные октупольные<br />
Примеры колебаний ядра как целого. Сплошной<br />
линией показана равновесная (сферическая)<br />
форма ядра, апунктиром− одно из двух крайних<br />
(различающихся половиной периода) состояний,<br />
которые принимает ядро в процессе колебаний.<br />
Дипольные колебания J=1 не относятся к<br />
внутренним возбуждениям ядра.<br />
Энергии квадрупольных и октупольных<br />
возбуждений в квантовой теории могут принимать<br />
дискретные значения<br />
Е квадр = n 2<br />
ω 2<br />
, Е окт = n3 ω3,<br />
Энергия возбуждения ядра, в котором<br />
одновременно происходят различные<br />
поверхностные колебания формы, имеет вид<br />
J<br />
ω J<br />
Е =<br />
∑ n ω<br />
J ≥2 J J<br />
n − число фононов определенного типа,<br />
− энергия фонона.
Колебательные состояния<br />
сферических ядер<br />
n = 3, Е = 3ћω 2<br />
0 + ,2 + ,3 + ,4 + ,6 +<br />
n = 2, E = 2ћω 2<br />
0 + ,2 + ,4 +<br />
n = 1, Е = 1ћω 2<br />
2 +<br />
n = 0, E = 0<br />
0 +<br />
Спектр квадрупольных колебаний поверхности<br />
четно-четных ядер.
Пример.<br />
Колебательные состояния сферических<br />
ядер
Взаимодействие γ-квантов<br />
с ядрами<br />
Сечение для ядра 150 Nd аппроксимируется суммой двух<br />
резонансных кривых.<br />
Сечение фотопоглощения для четно-четных изотопов неодима.<br />
В коллективной модели ядра гигантский резонанс описывается как<br />
дипольное колебание протонов относительно нейтронов.<br />
В деформированных ядрах с аксиальной симметрией гигантский<br />
дипольный резонанс расщепляется на две компоненты. Величина<br />
расщепления пропорциональна деформации ядра.<br />
На рисунке экспериментальные сечения аппроксимируются<br />
сплошными линиями резонансных кривых Лоренца<br />
2 σ<br />
σ = π ( E − E )<br />
Γ+<br />
E Γ<br />
2 2 2<br />
0<br />
2<br />
с параметрами, приведенными в таблице.<br />
142 Nd<br />
144 Nd<br />
146 Nd<br />
148 Nd<br />
150 Nd<br />
Е 0 , МэВ<br />
σ 0 , ферми 2<br />
Г, МэВ<br />
14.9<br />
36<br />
4.4<br />
15.0<br />
32<br />
5.3<br />
14.8<br />
31<br />
6<br />
14.7<br />
26<br />
7.2<br />
12.3<br />
17<br />
3.3<br />
16<br />
22<br />
5.2
Вопрос<br />
Почему гигантский дипольный<br />
резонанс в сильно деформированных<br />
ядрах расщепляется на два<br />
максимума
Вращательные состояния<br />
деформированных ядер<br />
Eвращ<br />
2<br />
<br />
= +<br />
2I<br />
J( J 1)<br />
Волновой функцией вращающегося<br />
ядра является собственная функция<br />
оператора квадрата полного момента<br />
2<br />
Ĵ , имеющего собственные значения<br />
2<br />
J( J + 1) , т.е. сферическая функция<br />
Y ( , )<br />
JM<br />
θ ϕ . Волновая функция ядра,<br />
имеющего форму аксиальносимметричного<br />
эллипсоида, не<br />
изменяется при пространственной<br />
инверсии, т. е. переходит сама в себя.<br />
Поэтому волновая функция ядра,<br />
имеющего форму эллипсоида<br />
симметрична, что исключает состояния<br />
с J = 1, 3, 5, … Чётность P сферической<br />
функции равна ( − 1) J . Поэтому чётность<br />
вращательных состояний четно-четного<br />
ядра всегда положительна.<br />
.
Пример.<br />
Вращательные состояния<br />
ядра 180 Hf<br />
180 Hf<br />
8 +<br />
1085<br />
(1120)<br />
6 +<br />
642<br />
(653)<br />
4 +<br />
2 +<br />
0<br />
309 (311)<br />
93<br />
0 кэВ<br />
Нижние вращательные уровни ядра<br />
180 Hf<br />
72 . Рядом с экспериментальными<br />
значениями энергии в скобках<br />
приведены энергии, рассчитанные по<br />
формуле Е вращ = ћ 2 J(J+1)/2I с моментом<br />
инерции I, оцененным по энергии<br />
состояния 2 + +
Вращательные спектры<br />
бесспиновых ядер<br />
EJ<br />
2<br />
<br />
= J( J + 1)<br />
2J
Пример<br />
Показать, что спектр<br />
возбужденных состояний<br />
деформированного ядра 180 Hf<br />
представляет собой<br />
«вращательную полосу».<br />
Для четно-четных<br />
деформированных ядер энергия<br />
вращательных состояний<br />
2<br />
J( J + 1)<br />
E = ,<br />
2I<br />
J — спин состояния, который принимает лишь<br />
четные значения J = 0,2,4,... ,<br />
I — момент инерции ядра. Отношение энергий<br />
уровней должно быть следующим:<br />
E : E : E : E<br />
+ + + +<br />
2 4 6 8<br />
=<br />
= J ( J + 1): J ( J + 1): J ( J + 1): J ( J + 1) =<br />
+ + + + + + + +<br />
2 2 4 4 6 6 8 8<br />
= 2(2 + 1) : 4(4 + 1) : 6(6 + 1) :8(8 + 1) = 3:10 : 21: 36.<br />
Подставим приведенные на рисунке значения<br />
энергий и получим:<br />
E + : E + : E + : E + = 93: 307 : 637 :1079 =<br />
2 4 6 8<br />
93 307 637 1079<br />
= : : : = 3: 9,90 : 20 : 55:34,81.<br />
31 31 31 31<br />
Полученные отношения, а также отсутствие в<br />
спектре в спектре уровней с J = 1,3,5,... указывают,<br />
что это «вращательная полоса» ядра.
Кулоновское возбуждение<br />
вращательных состояний атомных<br />
ядер<br />
Многие ядра имеют несферическую форму.<br />
Несферические ядра, обладающие осевой<br />
симметрией, имеют вращательную степень<br />
свободы, которой соответствует система<br />
вращательных уровней. Поскольку в тяжелых<br />
ядрах масса и размер ядра велики, даже при<br />
небольших деформациях вращательный<br />
уровень обычно является наиболее<br />
низколежащим. Энергии вращательных<br />
уровней Е вр аппроксимируются соотношением<br />
Eвр J( J 1) J ( J 1)<br />
2 2<br />
= α + + β + .<br />
В реакциях с тяжёлыми ионами возбуждаются<br />
вращательные состояния ядра-мишени с<br />
большими угловыми моментами. Отклонение<br />
теоретически рассчитанного спектра<br />
возбуждения для аппроксимации<br />
Е(кэВ) = 7,45 II ( + 1)<br />
от экспериментально наблюдаемых значений<br />
максимально для состояния 14 + и составляет<br />
~10%.<br />
При двухпараметрической аппроксимации<br />
Е(кэВ)<br />
= 7,45 I( I + 1) −3,4 ⋅ 10 I ( I + 1)<br />
− 3 2 2<br />
экспериментальный спектр описывается<br />
в пределах точности измерений.
Кулоновское возбуждение<br />
вращательной полосы ядра 238<br />
238 U
Вопрос<br />
Какую информацию о свойствах<br />
атомных ядер можно извлечь из<br />
экспериментов по кулоновскому<br />
возбуждению ядер
Возбужденные состояния 2 +<br />
1. Квадрупольные колебания<br />
0 + , 2 + , 4 +<br />
2 +<br />
0 +<br />
E<br />
E<br />
E<br />
=<br />
=<br />
=<br />
2ω<br />
ω<br />
0<br />
2. Вращение деформированного ядра<br />
8 +<br />
6 +<br />
4 +<br />
2 +<br />
0 +<br />
E<br />
2<br />
<br />
= J( J + 1)<br />
2I<br />
3. Одночастичные возбуждения<br />
3/2 -<br />
p n<br />
<br />
J<br />
P<br />
<br />
3 3<br />
= + = 0,1, 2,3<br />
2 2<br />
= ( −1)( − 1) =+ 1
Возбужденные состояния 2 +<br />
зависимости положения первого 2 +<br />
ровня от массового числа А<br />
тчётливо проявляются эффекты,<br />
бусловленные<br />
деформацией<br />
томного ядра. Энергия первого 2 +<br />
ровня в деформированных ядрах<br />
меет гораздо меньшие значения, чем<br />
нергия колебательного 2 + уровня. В<br />
драх, имеющих заполненные<br />
болочки, энергия 2 + уровня<br />
ревышает 1 МэВ.
Пример.<br />
Возбужденные состояния 2 +<br />
62<br />
28 Ni 118<br />
50 Sn 178<br />
82 Hf 234<br />
92 U<br />
Колебательные<br />
состояния чётно-чётных<br />
сферических атомных<br />
ядер<br />
Вращательные<br />
состояния<br />
деформированных<br />
чётно-чётных атомных<br />
ядер
Обобщенная модель ядра<br />
В простейшем варианте обобщенной модели ядер<br />
учитываются два типа ядерных движений:<br />
коллективное вращение ядра относительно внешней<br />
системы координат ( x, y,<br />
z ), обусловленное его<br />
деформацией, и одночастичное движение нуклонов<br />
относительно внутренней, вращающейся системы<br />
координат (1, 2, 3) в деформированной потенциальной<br />
яме.<br />
Полный момент количества движения ядра<br />
складывается из коллективного вращательного<br />
<br />
.<br />
<br />
J = R+<br />
J′<br />
момента ядра R и внутреннего момента нуклонов J ′<br />
<br />
Моменты J ′ и R прецессируют вокруг направления<br />
полного момента количества движения J . Так как<br />
аксиально-симметричное эллипсоидальное ядро может<br />
вращаться только вокруг оси перпендикулярной к оси<br />
симметрии 3, то из этого вытекает, что вектор R <br />
перпендикулярен оси 3 и проекции полного и<br />
внутреннего угловых моментов на ось симметрии<br />
должны быть равны между собой.<br />
J = J′<br />
= K<br />
3 3<br />
J
Обобщённая модель ядра<br />
Aage Niels Bohr Ben Roy Mottelson Leo James Rainwater<br />
р. 1922 р. 1926 1917-1986<br />
H=H +H +H<br />
одн вращ одн⋅вращ<br />
Нобелевская премия по физике<br />
1975 г. — О. Бор, Б. Моттельсон и<br />
Дж. Рейнуотер<br />
За открытие связи между коллективным и<br />
одночастичным движением в атомном ядре и<br />
создание на базе этой связи теории структуры<br />
атомного ядра.
Мезоны – кванты<br />
ядерного поля
Теория Юкавы<br />
Теория Юкавы ядерных сил<br />
основана на симметрии между<br />
нейтроном и протоном и их взаимных<br />
превращений в ядре. Квантовый<br />
процесс уничтожения протона и<br />
рождения нейтрона приводил к<br />
рождению квантов поля сильного<br />
взаимодействия — мезонов.<br />
Превращение нейтрона в протон должно<br />
сопровождаться<br />
рождением<br />
отрицательного мезона, превращение<br />
протона в нейтрон — положительного.<br />
Для того, чтобы обеспечить<br />
изоспиновую<br />
симметрию<br />
взаимодействия нуклонов и мезонов, в<br />
ядре должны были происходить и такие<br />
переходы, которые оставляли протоном<br />
протоном, а нейтрон – нейтроном. Таким<br />
образом, теория Юкавы предсказывала<br />
не одну частицы, а три — две<br />
заряженные частицы и одну<br />
нейтральную. Взаимодействие между π -<br />
мезоном и нуклоном зависит от спина<br />
частиц. При нулевом спине мезонов<br />
обменное взаимодействие ведет к<br />
притяжению нуклонов.
Потенциал Юкавы<br />
V , МэВ<br />
100<br />
50<br />
0<br />
− 50<br />
− 100<br />
отталкивание<br />
1 2 3<br />
r, Фм<br />
притяжение<br />
Потенциал, создаваемый облаком испускаемых<br />
нуклоном мезонов, носит название потенциала<br />
Юкавы<br />
<br />
где а = тс , а<br />
Радиальная зависимость<br />
нуклон-нуклонного потенциала<br />
Vr () = gN<br />
e<br />
−r<br />
a<br />
r<br />
g<br />
N − ядерный заряд нуклона. Именно<br />
такой радиальной зависимостью характеризуется<br />
форма межнуклонного потенциала на участке r > 0.8<br />
Фм Радиальная зависимость юкавского<br />
потенциала переходит в радиальную зависимость<br />
кулоновского потенциала (1/r) при нулевой массе m<br />
переносчика взаимодействия.<br />
,
Нуклон-нуклонное<br />
нуклонное<br />
взаимодействие – обмен<br />
мезонами<br />
Нуклон-нуклонные взаимодействия можно<br />
описать как обмен виртуальными мезонами.<br />
Мезоны бесцветны и состоят из кваркантикварковых<br />
пар. Бесцветность мезонов<br />
позволяет избежать проблемы конфайнмента,<br />
а спектр мезонных масс обеспечивает<br />
реализацию NN-взаимодействия на всей<br />
физической шкале межнуклонных расстояний<br />
– от долей ферми до нескольких ферми.<br />
Концепция мезонного обмена хорошо<br />
работает на расстояниях r ≥ 2 Фм, на которых<br />
можно не учитывать внутреннюю структуру<br />
мезонов и рассматривать их как точечные<br />
частицы.<br />
n<br />
p<br />
π<br />
p<br />
n
π-мезоны, кванты ядерного поля<br />
спользуя связь между радиусом ядерных<br />
ил а и массой m переносчика<br />
заимодействия<br />
<br />
а = , тс<br />
оторая следует из соотношения<br />
еопределенностей для виртуальной<br />
астицы, получаем для характерном<br />
дерном расстояниях а ≈ 1.5 Фм<br />
т с 2<br />
π =<br />
с<br />
а<br />
≈<br />
200 МэВ ⋅Фм<br />
1.5 Фм<br />
≈ 130 МэВ.<br />
заимодействие между nn-, np-, pp-парами на<br />
Положительные, отрицательные и<br />
+ 0 −<br />
ейтральные пионы ( π , π , π ) описывают<br />
арактерных внутриядерных расстояниях<br />
.5-2.0 Фм.<br />
n<br />
p<br />
π<br />
p<br />
n<br />
n<br />
p<br />
Однопионное np-взаимодействие<br />
Кварковая диаграмма np-взаимодействия<br />
u<br />
d<br />
d<br />
u<br />
u<br />
d<br />
π<br />
u<br />
u d<br />
u<br />
u d<br />
u<br />
u d<br />
p<br />
n
Диаграммы N-N взаимодействий<br />
N<br />
N<br />
N N<br />
π(140МэВ)<br />
N N<br />
N N<br />
η(549МэВ)<br />
N N<br />
N N<br />
ρ(770МэВ)<br />
N N<br />
ω<br />
N<br />
(782МэВ)<br />
N<br />
Пионы описывают NN взаимодействие на<br />
расстояниях 1.5 – 2 Фм.<br />
На меньших расстояниях должен происходить<br />
2<br />
обмен более тяжёлыми мезонами − ω ( т ω с = 782<br />
2<br />
2<br />
МэВ), η ( т η с = 549 МэВ) и ρ ( с =770 МэВ).<br />
Особую роль в этой области расстояний играет<br />
взаимодействие. Обмен векторными частицами<br />
J=1 приводит к отталкиванию между нуклонами.<br />
электростатике. Обмен скалярными мезонами J=0<br />
обмен ω-мезоном. Характер взаимодействия<br />
зависит от спина частицы, переносящей<br />
Это отталкивание является аналогом<br />
отталкивания двух одноимённых зарядов в<br />
приводит к притяжению между нуклонами.<br />
т ρ<br />
π η ρ ω<br />
J p (I) 0 - (1) 0 - (0) 1 - (1) 1 - (0)
Вопрос<br />
Предложите эксперименты, из которых<br />
можно было бы сделать вывод,<br />
является ли мюон тем переносчиком<br />
ядерного взаимодействия, который<br />
был предложен Юкавой.
Экзотические ядра<br />
Антиядра<br />
Гиперядра
Антиядра<br />
Античастицы были предсказаны в<br />
1928 г. П. Дираком. Существование<br />
античастиц приводит к естественному<br />
вопросу, не могут ли из античастиц<br />
образовываться антиядра. Самым<br />
простым ядром является ядро изотопа<br />
1 Н, представляющее отдельный протон.<br />
Открытие антипротона и затем<br />
антинейтрона по существу дало<br />
положительный ответ на вопрос о<br />
возможности существования антиядер.<br />
Антидейтрон, состоящий из<br />
антипротона и антинейтрона, был<br />
получен в лабораторных условиях в<br />
1966 г. Ядро антигелия 3 He , состоящее<br />
из двух антипротонов и одного<br />
нейтрона, было получено в 1970 г. При<br />
создании соответствующих условий<br />
принципиально возможно получить<br />
антиядра всех обычных ядер. Антиядро<br />
окруженное соответствующим числом<br />
позитронов, образует антиатом. Первые<br />
антиатомы водорода были получены в<br />
1998 г.
Вопрос<br />
Предложите эксперимент по<br />
наблюдению ядер антигелия.
Кластеры<br />
в атомных ядрах
Кластеры в лёгких ядрах<br />
12 N 11.0 ms<br />
9 C 0.1265 s 10 C 19.2 s<br />
11 C 20.38 m<br />
12 C 98.89 %<br />
8 B 0.769 s<br />
9 B 540 eV<br />
10 B 19.8%<br />
11 B 80.2 %<br />
7 Be 53.3 d<br />
8 Be 6.8 eV<br />
9 Be 100%<br />
6 Li 7.5 %<br />
7 Li 92.5 %<br />
Атомное ядро представляет собой<br />
связанную систему протонов и нейтронов. В<br />
результате взаимодействия между<br />
нуклонами в ядре образуются компактные<br />
структуры, состоящие из двух или большего<br />
числа частиц, которые могут возникать<br />
внутри атомного ядра. Кластерная структура<br />
атомных ядер проявляется в процессах<br />
α -распада, в различных ядерных реакциях.
d-α-кластеры<br />
в лёгких ядрах<br />
50<br />
V(0.25%)<br />
10<br />
B(19.9%)<br />
14<br />
N(99.634%)<br />
d<br />
6<br />
Li(7.5%)<br />
Кластерная модель описывает<br />
структуру некоторых ядер, как<br />
своеобразный аналог молекул,<br />
состоящих из альфа-частиц, дейтронов<br />
идр.
Clustering building blocks:<br />
more than one nucleon bound,<br />
stable & no exited states below<br />
particle decay thresholds –<br />
4<br />
He, deuterium, tritium, and 3 He<br />
nuclei
t<br />
3 He<br />
Clustering in Light Nuclei<br />
6 Li 7 Li<br />
10 B<br />
12 C<br />
6 He<br />
7 Be<br />
8 B<br />
12 N
Γ=0.092 MeV<br />
A=6<br />
“Are you Boromean too”