Capitolo 3 Modelli nucleari collettivi: il modello a goccia di liquido
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Il modello a goccia è anche usato per derivare una condizione che lega A e Z per tutti i nuclei stabili rispetto al decadimento beta. La formula che fornisce la massa di un nucleo: 2 ( A − 2Z) 3 4 2 2 / 3 Z − / M( Z, A) = Zmp + ( A − Z) mn − αA + βA + γ + ζ − δA 1 / 3 A A presenta una dipendenza di tipo parabolico (vedi figura 3.2) della massa nucleare da Z, ad A fissato. Fig 3.2 dipendenza della massa nucleare da Z per nuclei ad A dispari Abbiamo già detto che il nucleo più stabile ha un maggior difetto di massa e quindi massa più piccola. Pertanto il valore Z 0 che corrisponde a questo nucleo può essere determinato trovando il minimo della cirva. Differenziando rispetto a Z l’espressione della massa ed uguagliando a zero: dm − 1 / 2ς A m m 2 ZA 3 ⎛ ⎞ = p − n + γ − ⎜ − Z⎟ = 0 dZ A ⎝ 2 ⎠ da cui si ricava: = A Z ( mp − m + ς) 2 / 3 2ς + 2γA n A che, sostituendo i valori numerici, diviene: Z = 2 / 3 1 97 . + 0 015A . Se si usa questa espressione per calcolare Z 0 per gli isobari stabili per decadimento beta e si confronta con i valori sperimentali, si trova un ottimo accordo: Z 0 differisce al più di ±1 dal valore sperimentale. Abbiamo visto che se A è dispari, il termine δ della formula della massa vale zero, e la funzione m(Z) assume valori 32
singoli. Fissato A, esiste quindi un unico valore di Z 0 che corrisponde ad un isobaro stabile (vedi fig. 3.2) Il nucleo con Z=Z 0 +1 decade β + nel nucleo Z 0 , mentre il nucleo con Z=Z 0 -1 decade β - nel nucleo Z 0 . La situazione è la stessa per i nuclei (A,Z 0 ±2) che decadono β ± nei nuclei (A,Z 0 m1). Se però A è pari la funzione m(Z) assume due valori diversi perchè δ = ±34 a seconda che il nucleo sia dispari-dispari (+34) o paripari (-34) Fig 3.3 dipendenza della massa nucleare da Z per nuclei ad A pari La parabola inferiore corrisponde ai nuclei con Z pari, mentre la parabola superiore a nuclei (meno stabili) con Z dispari. La figura 3.3 a) mostra che, poichè due nuclei contigui sulla stessa parabola differiscono di due unità in Z, possono esistere fino a tre isobari stabili per i nuclei pari-pari. Infatti una transizione del nucleo con una carica Z 0 ±2 in un nucleo con carica Z 0 ±1 non è energeticamente possibile, e una transizione ditretta da Z 0 ±2 a Z 0 tramite un doppio decadimento beta è estremamente improbabile. Viceversa, poichè ciascun nucleo nella parabola superiore ha un corrispondente nucleo nella parabola inferiore che differisce per ±1 in numero atomico, tutti i nuclei dispari-dispari devono essere instabili, ed in effetti le uniche eccezioni sono rappresentate da: 2 H, 6 Li, 10 B, 14 N. In questi casi i nuclei isobari sono arrangiati come in figura 3.3 b). Ovviamente in questo caso gli 33
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singoli. Fissato A, esiste quin<strong>di</strong> un unico valore <strong>di</strong> Z 0 che corrisponde ad un isobaro<br />
stab<strong>il</strong>e (ve<strong>di</strong> fig. 3.2) Il nucleo con Z=Z 0 +1 decade β + nel nucleo Z 0 , mentre <strong>il</strong> nucleo<br />
con Z=Z 0 -1 decade β - nel nucleo Z 0 . La situazione è la stessa per i nuclei (A,Z 0 ±2)<br />
che decadono β ± nei nuclei (A,Z 0 m1). Se però A è pari la funzione m(Z) assume due<br />
valori <strong>di</strong>versi perchè δ = ±34 a seconda che <strong>il</strong> nucleo sia <strong>di</strong>spari-<strong>di</strong>spari (+34) o paripari<br />
(-34)<br />
Fig 3.3 <strong>di</strong>pendenza della massa nucleare da Z per nuclei ad A pari<br />
La parabola inferiore corrisponde ai nuclei con Z pari, mentre la parabola superiore<br />
a nuclei (meno stab<strong>il</strong>i) con Z <strong>di</strong>spari. La figura 3.3 a) mostra che, poichè due nuclei<br />
contigui sulla stessa parabola <strong>di</strong>fferiscono <strong>di</strong> due unità in Z, possono esistere fino a<br />
tre isobari stab<strong>il</strong>i per i nuclei pari-pari. Infatti una transizione del nucleo con una<br />
carica Z 0 ±2 in un nucleo con carica Z 0 ±1 non è energeticamente possib<strong>il</strong>e, e una<br />
transizione <strong>di</strong>tretta da Z 0 ±2 a Z 0 tramite un doppio deca<strong>di</strong>mento beta è<br />
estremamente improbab<strong>il</strong>e. Viceversa, poichè ciascun nucleo nella parabola<br />
superiore ha un corrispondente nucleo nella parabola inferiore che <strong>di</strong>fferisce per ±1<br />
in numero atomico, tutti i nuclei <strong>di</strong>spari-<strong>di</strong>spari devono essere instab<strong>il</strong>i, ed in<br />
effetti le uniche eccezioni sono rappresentate da: 2 H, 6 Li, 10 B, 14 N. In questi casi i<br />
nuclei isobari sono arrangiati come in figura 3.3 b). Ovviamente in questo caso gli<br />
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