Capitolo 3 Modelli nucleari collettivi: il modello a goccia di liquido

dove: q(r)=ρ el 34
π r 3 e dq(r)= ρ el 4 π r 2 dr
Q
sostituendo, integrando, e notando che ρ
el
= , si ottiene:
4 3
πR
3
2
2 2
3 Q 3 Z e
U = =
(3.2)
el
5 R 5 R
2
dUel 6 Ze
L’energia potenziale per unità di carica vale quindi = , e aumenta
dZ 5 R
linearmente con Z.
Partendo dalla anlogia con la goccia di liquido, scriviamo una espressione dell’energia
di legame del nucleo, riservandoci di giustificare in seguito i vari termini che la
compongono:
2
2
2 / 3 Z ( A − 2Z)
B = αA
− βA
− γ − ζ
1 / 3
A A
Analizziamo ora i vari termini:
• αA rappresenta il termine di volume discendente direttamente dalla relazione
(3.1) precedente.
• βA 2/3 rappresenta il termine di superficie. Schematizzando il nucleo come una
sfera di densità uniforme e raggio r=r 0 A 1/3 , si ricava che la superficie esterna del
2 2 3
nucleo vale 4 r A /
π
O
. I nucleoni che stanno sulla superficie, il cui numero è
ovviamente proporzionale appunto ad A 2/3 , risultano meno legati di quelli che si
trovano immersi nella materia nucleare: da qui deriva il segno meno.
2
Z
• γ rappresenta il termine coulombiano (3.2) di repulsione tra i protoni
1 / 3
A
confinati all’interno del nucleo. Immaginando il nucleo come una sfera
uniformemente carica, l’energia potenziale di tale distribuzione vale:
2
2 2
3 q 3Z e
U = = e naturalmente va a diminuire (vedi segno meno) l’energia di
1 / 3
5 r 5rO
A
legame.
2
( A − 2Z)
• ζ è un termine aggiuntivo, indipendente dalla analogia con la goccia di
A
liquido. Esso deriva dalla osservazione sperimentale che nei nuclei Z ed N non sono
indipendenti: anzi, specie per i nuclei leggeri (A