Capitolo 3 Modelli nucleari collettivi: il modello a goccia di liquido

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Figura 3.1 la rappresentazione dei nuclei stabili nel piano Z-N Esiste senza dubbio una relazione tra N e Z in quanto i punti rappresentativi giacciono dentro una piccola regione, quasi una linea nel piano N-Z. Abbiamo già notato come, in prima approssimazione, l’energia di legame per nucleone sia costante: B ≈cost → B ∝ A (3.1) A Il fatto che l’energia di legame per nucleone non dipenda da A indica una importante proprietà delle forze nucleari: esse sono a corto range. Ogni singolo nucleone all’interno del nucleo interagisce solo con i nucleoni circostanti (quelli “a contatto”) e non con tutti gli A nucleoni. Questa peculiarità delle forze nucleari spiega la salita iniziale della curva da B/A in funzione di A e la zona di “plateau” successiva. Diverso è il caso delle forze elettriche, il cui range è infinito: l’energia potenziale elettrica di una sfera di raggio R contenente una carica Ze uniformemente distribuita è data da: R R q() r U = ∫ dU = ∫ V() r dq() r = ∫ dq() r el el 0 0 r 28
dove: q(r)=ρ el 34 π r 3 e dq(r)= ρ el 4 π r 2 dr Q sostituendo, integrando, e notando che ρ el = , si ottiene: 4 3 πR 3 2 2 2 3 Q 3 Z e U = = (3.2) el 5 R 5 R 2 dUel 6 Ze L’energia potenziale per unità di carica vale quindi = , e aumenta dZ 5 R linearmente con Z. Partendo dalla anlogia con la goccia di liquido, scriviamo una espressione dell’energia di legame del nucleo, riservandoci di giustificare in seguito i vari termini che la compongono: 2 2 2 / 3 Z ( A − 2Z) B = αA − βA − γ − ζ 1 / 3 A A Analizziamo ora i vari termini: • αA rappresenta il termine di volume discendente direttamente dalla relazione (3.1) precedente. • βA 2/3 rappresenta il termine di superficie. Schematizzando il nucleo come una sfera di densità uniforme e raggio r=r 0 A 1/3 , si ricava che la superficie esterna del 2 2 3 nucleo vale 4 r A / π O . I nucleoni che stanno sulla superficie, il cui numero è ovviamente proporzionale appunto ad A 2/3 , risultano meno legati di quelli che si trovano immersi nella materia nucleare: da qui deriva il segno meno. 2 Z • γ rappresenta il termine coulombiano (3.2) di repulsione tra i protoni 1 / 3 A confinati all’interno del nucleo. Immaginando il nucleo come una sfera uniformemente carica, l’energia potenziale di tale distribuzione vale: 2 2 2 3 q 3Z e U = = e naturalmente va a diminuire (vedi segno meno) l’energia di 1 / 3 5 r 5rO A legame. 2 ( A − 2Z) • ζ è un termine aggiuntivo, indipendente dalla analogia con la goccia di A liquido. Esso deriva dalla osservazione sperimentale che nei nuclei Z ed N non sono indipendenti: anzi, specie per i nuclei leggeri (A
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