Capitolo 3 Modelli nucleari collettivi: il modello a goccia di liquido

Capitolo 3
Modelli nucleari collettivi: il modello a goccia di liquido
3.1 Introduzione
Già nel 1911 Rutherford, per spiegare i risultati del suo esperimento di diffusione di
particelle α da nuclei pesanti ricavò che il nucleo è assimilabile ad una sfera di
raggio ≈ 10 -13 cm. Successivamente il raggio dei nuclei fu stimato da una analisi della
relazione empirica tra le vite medie τ degli α-emettitori e l’energia cinetica T α delle
particelle α emesse, che fu trovata essere del tipo:
lnτ + a⋅lnT α = costante
dove il parametro a è tale che, come vedremo qunado studieremo in maggior
dettaglio il decadimento alfa, per un piccolo intervallo di variabilità di T α (tra 4 e 9
MeV) la vita media varia invece enormemente (tra 10 -7 s e 10 10 y). Fu trovata la
relazione: r = r 0 ⋅A 1/3 , con r 0 ≈ 1.3 fm.
La densità numerica dei nucleoni risulta allora essere:
A 3A 3
n = = = ≈ 10 38 cm -3
3
3
V 4πr0 A 4πr0
e, non dipendendo da A, è la stessa per tutti i nuclei.
Anche la densità massica della materia nucleare risulta indipendente da A e
costante per tutti i nuclei:
M Amp
3mp
ρ = ≈ = ≈ 10 14 g⋅cm -3
3
V V 4πr0
Il fatto che la densità sia costante, ci dice che la materia nucleare è
incomprimibile, e questa proprietà indica una somiglianza tra la materia nucleare ed
un liquido. Questa analogia segue anche dalla dipendenza quasi lineare esistente tra
l’energia di legame di un nucleo ed il suo numero di massa, che può essere
paragonata alla dipendenza lineare dell’energia di vaporizzazione di un liquido dalla
sua massa. Inoltre la proprietà di saturazione delle forze nucleari (che segue dal
fatto che B/A ≈ cost.) rende l’analogia piu completa poichè la stessa proprità è
anche posseduta dalle forze chimiche di legame delle molecole in un liquido. Su
questa basi Bohr, Wheeler e Frenkel svilupparono il modello a goccia del nucleo, che
portò alla formula semiempirica per l’energia di legame ottenuta da Weiszacker.
Questo modello fu in grado di spiegare un grande numero di fenomeni, compresi
alcuni aspetti del decadimenti beta, il fenomeno della fissione nucleare e le leggi del
decadimento alfa.
3.2 Modello a goccia di liquido (Weiszacher)
Questo modello molto semplice è in grado di spiegare, mediante pochi parametri
empirici, importanti proprietà dei nuclei. Abbiamo già visto che se riportiamo in
grafico il numero dei neutroni N=A-Z contenuti nel nucleo in funzione di Z per tutti
i nuclei stabili, si ottiene il diagramma mostrato in figura3.1
27

Figura 3.1 la rappresentazione dei nuclei stabili nel piano Z-N
Esiste senza dubbio una relazione tra N e Z in quanto i punti rappresentativi
giacciono dentro una piccola regione, quasi una linea nel piano N-Z.
Abbiamo già notato come, in prima approssimazione, l’energia di legame per nucleone
sia costante:
B ≈cost → B ∝ A
(3.1)
A
Il fatto che l’energia di legame per nucleone non dipenda da A indica una importante
proprietà delle forze nucleari: esse sono a corto range. Ogni singolo nucleone
all’interno del nucleo interagisce solo con i nucleoni circostanti (quelli “a contatto”)
e non con tutti gli A nucleoni. Questa peculiarità delle forze nucleari spiega la salita
iniziale della curva da B/A in funzione di A e la zona di “plateau” successiva.
Diverso è il caso delle forze elettriche, il cui range è infinito: l’energia potenziale
elettrica di una sfera di raggio R contenente una carica Ze uniformemente
distribuita è data da:
R
R q()
r
U = ∫ dU = ∫ V() r dq()
r = ∫ dq()
r
el
el
0
0
r
28

dove: q(r)=ρ el 34
π r 3 e dq(r)= ρ el 4 π r 2 dr
Q
sostituendo, integrando, e notando che ρ
el
= , si ottiene:
4 3
πR
3
2
2 2
3 Q 3 Z e
U = =
(3.2)
el
5 R 5 R
2
dUel 6 Ze
L’energia potenziale per unità di carica vale quindi = , e aumenta
dZ 5 R
linearmente con Z.
Partendo dalla anlogia con la goccia di liquido, scriviamo una espressione dell’energia
di legame del nucleo, riservandoci di giustificare in seguito i vari termini che la
compongono:
2
2
2 / 3 Z ( A − 2Z)
B = αA
− βA
− γ − ζ
1 / 3
A A
Analizziamo ora i vari termini:
• αA rappresenta il termine di volume discendente direttamente dalla relazione
(3.1) precedente.
• βA 2/3 rappresenta il termine di superficie. Schematizzando il nucleo come una
sfera di densità uniforme e raggio r=r 0 A 1/3 , si ricava che la superficie esterna del
2 2 3
nucleo vale 4 r A /
π
O
. I nucleoni che stanno sulla superficie, il cui numero è
ovviamente proporzionale appunto ad A 2/3 , risultano meno legati di quelli che si
trovano immersi nella materia nucleare: da qui deriva il segno meno.
2
Z
• γ rappresenta il termine coulombiano (3.2) di repulsione tra i protoni
1 / 3
A
confinati all’interno del nucleo. Immaginando il nucleo come una sfera
uniformemente carica, l’energia potenziale di tale distribuzione vale:
2
2 2
3 q 3Z e
U = = e naturalmente va a diminuire (vedi segno meno) l’energia di
1 / 3
5 r 5rO
A
legame.
2
( A − 2Z)
• ζ è un termine aggiuntivo, indipendente dalla analogia con la goccia di
A
liquido. Esso deriva dalla osservazione sperimentale che nei nuclei Z ed N non sono
indipendenti: anzi, specie per i nuclei leggeri (A

Vediamo ora di ricavare i coefficienti da considerazioni approssimate ma semplici.
In realtà la procedura utilizzata è più raffinata ma più complessa, e comunque non
porta a differenze sostanziali rispetto alla nostra.
Il termine dovuto alla correzione coulombiana si ricava direttamente:
2
3e
γ = = 0 667MeV .
5rO
La dipendenza di Z = Z(A) per i nuclei stabili risulta essere la seguente:
A
Z = 2 / 3
2 + 0 015A .
(3.3)
d B
Per questo valore di Z l’energia di legame è massima, e quindi: = 0 .
d Z
( A − 2Z)
d B Z
Dalla relazione: = −2γ
+ 4ζ
= 0 si ricava:
1 / 3
d Z A
A
γ −2/3
( A − 2Z)
= 2A
.
ς
Z
2/ 3
Se eliminiamo Z tramite la (3.3), notando che ( A − 2Z) = 0.015 ⋅ Z ⋅ A , sparisce
anche la dipendenza da A e si ricava:
γ =0.03 e quindi, noto γ , si trova: ζ= 22.2 MeV
ζ
La curva B = f( A)
deve avere il massimo ad A=60. Dalla relazione:
A
2
2
d ⎛ B ⎞
B
−1
/ 3 Z ( A − 2Z)
⎜ ⎟ = 0 con: = α − βA
− γ − ζ , si ottiene:
4 / 3
2
dA ⎝ A ⎠ A=
60
A
A A
60
β = γ e quindi β = 16 MeV.
25
B
Imponendo infine, sempre da osservazioni sperimentali, che =8.8 MeV per A=60 e
A
Z=28 si ricava α = 15.2 MeV. Finalmente:
( A 2Z)
2
2
2 / 3 0 667 . ⋅Z
−
B = 15 2A . − 16 0A . − − 22 2 .
1 / 3
A
A
• Vi è un ultimo termine, anche questo indipendente dalla analogia con la goccia di
liquido. I nuclei possono essere divisi in tre gruppi per quanto riguarda la loro
stabilità. Il primo gruppo contiene i nuclei più stabili, quelli con Z ed N entrambi
pari (per questo detti “pari-pari”), mentre il secondo gruppo contiene i nuclei meno
stabili “pari-dispari” e “dispari-pari”, aventi A dispari. Infine il terzo gruppo
contiene i nuclei “dispari-dispari” che di regola sono instabili (i nuclei dispari-dispari
stabili sono solo quattro: 2 H, 6 Li, 10 B, 14 N). Per questo motivo, un cambio di un’unità
nella carica nucleare Z ad A fissato trasforma un nucleo pari-pari in uno disparidispari
(o viceversa), e fa quindi variare bruscamente l’energia di legame. Questo
effetto non è ovviamente spiegabile con una analogia idrostatica e si deve
introdurre un ulteriore termine “ad hoc”: esso è espresso come δA -3/4 .
30

La formula completa per l’energia di legame B risulta allora:
2
( A − 2Z) 3 4
2
2 / 3 Z
− /
B = αA
− βA
− γ − ζ + δA
1 / 3
A A
il valore di δ, dedotto ancora una volta da un confronto sperimentale, è dato dalla
seguente espressione:
⎧ + 34 pari − pari ⎫
⎪
⎪
δ = ⎨ 0 A dispari ⎬
⎪
⎪
⎩−
34 dispari − dispari⎭
Dalla formula che fornisce il valore dell’energia di legame B, si ricava
immediatamente la formula di B/A:
2
( A − 2Z) 7 4
B 2
−1
/ 3 Z
−
= α − βA
− γ − ζ + δA
/
4 / 3
2
A
A A
Noto B, possiamo ricavare il valore della massa nucleare M(Z,A) = Zm p + (A-Z)m n –
B. Essa vale:
2
( A − 2Z) 3 4
2
2 / 3 Z
− /
M( Z,
A) = Zmp
+ ( A − Z)
mn
− αA
+ βA
+ γ + ζ − δA
1 / 3
A A
Calcoli più raffinati forniscono i seguenti valori numerici per le costanti della
formula:
costante valore (MeV)
α 15.75
β 17.8
γ 0.71
δ 0, ±34
ζ 23.7
3.3 Applicazioni del modello a goccia
Utilizzando i coefficienti in tabella è possibile calcolare, noti Z ed A, l’energia di
legame di qualsiasi nucleo con un errore relativo dell’ordine del percento. Il calcolo
della massa è sorprendentemente preciso, con un errore di 10 -4 . Il modello a goccia
permette di calcolare l’energia di separazione di un protone (ε p ), di un neutrone (ε n ),
o di una particella alfa (ε α ), ossia la minima energia che si deve fornire ad un nucleo
per strappare un protone, un neutrone o una particella alfa.
M(Z,A)+ ε p = m(Z-1,A) + m p
Da cui: ε p = m(Z-1,A) + m p – m(Z,A) = B(Z,A) – B(Z-1,A-1)
Analogamente:
ε n = B(Z,A) – B(Z,A-1)
ε α = B(Z,A) – B(Z-2,A-4) – B( 4 He)
31

Il modello a goccia è anche usato per derivare una condizione che lega A e Z per
tutti i nuclei stabili rispetto al decadimento beta. La formula che fornisce la massa
di un nucleo:
2
( A − 2Z) 3 4
2
2 / 3 Z
− /
M( Z,
A) = Zmp
+ ( A − Z)
mn
− αA
+ βA
+ γ + ζ − δA
1 / 3
A A
presenta una dipendenza di tipo parabolico (vedi figura 3.2) della massa nucleare da
Z, ad A fissato.
Fig 3.2 dipendenza della massa nucleare da Z per nuclei ad A dispari
Abbiamo già detto che il nucleo più stabile ha un maggior difetto di massa e quindi
massa più piccola. Pertanto il valore Z 0 che corrisponde a questo nucleo può essere
determinato trovando il minimo della cirva. Differenziando rispetto a Z
l’espressione della massa ed uguagliando a zero:
dm − 1 / 2ς
A
m m 2 ZA
3 ⎛ ⎞
=
p
−
n
+ γ − ⎜ − Z⎟
= 0
dZ
A ⎝ 2 ⎠
da cui si ricava: = A
Z ( mp
− m + ς)
2 / 3
2ς
+ 2γA
n
A
che, sostituendo i valori numerici, diviene: Z =
2 / 3
1 97 . + 0 015A .
Se si usa questa espressione per calcolare Z 0 per gli isobari stabili per decadimento
beta e si confronta con i valori sperimentali, si trova un ottimo accordo: Z 0
differisce al più di ±1 dal valore sperimentale. Abbiamo visto che se A è dispari, il
termine δ della formula della massa vale zero, e la funzione m(Z) assume valori
32

singoli. Fissato A, esiste quindi un unico valore di Z 0 che corrisponde ad un isobaro
stabile (vedi fig. 3.2) Il nucleo con Z=Z 0 +1 decade β + nel nucleo Z 0 , mentre il nucleo
con Z=Z 0 -1 decade β - nel nucleo Z 0 . La situazione è la stessa per i nuclei (A,Z 0 ±2)
che decadono β ± nei nuclei (A,Z 0 m1). Se però A è pari la funzione m(Z) assume due
valori diversi perchè δ = ±34 a seconda che il nucleo sia dispari-dispari (+34) o paripari
(-34)
Fig 3.3 dipendenza della massa nucleare da Z per nuclei ad A pari
La parabola inferiore corrisponde ai nuclei con Z pari, mentre la parabola superiore
a nuclei (meno stabili) con Z dispari. La figura 3.3 a) mostra che, poichè due nuclei
contigui sulla stessa parabola differiscono di due unità in Z, possono esistere fino a
tre isobari stabili per i nuclei pari-pari. Infatti una transizione del nucleo con una
carica Z 0 ±2 in un nucleo con carica Z 0 ±1 non è energeticamente possibile, e una
transizione ditretta da Z 0 ±2 a Z 0 tramite un doppio decadimento beta è
estremamente improbabile. Viceversa, poichè ciascun nucleo nella parabola
superiore ha un corrispondente nucleo nella parabola inferiore che differisce per ±1
in numero atomico, tutti i nuclei dispari-dispari devono essere instabili, ed in
effetti le uniche eccezioni sono rappresentate da: 2 H, 6 Li, 10 B, 14 N. In questi casi i
nuclei isobari sono arrangiati come in figura 3.3 b). Ovviamente in questo caso gli
33

isobari pari-pari devono essere instabili. Per esempio i nuclei 14 C e 14 O si trovano al
di sopra del nucleo stabile 14 N (fig. 3.4)
Fig. 3.4 disposizione relativa dei nuclei 14 C, 14 O e 14 N sul piano m-Z
Il modello a goccia può ovviamente essere anche usato per calcolare l’energia del
decadimento beta: E βmax = m(Z,A) – m(Z+1,A). Per l’energia cinetica delle particelle
beta emesse:
T βmax = E βmax - m e = m(Z,A) – m(Z+1,A) – m e = m n – m p – m e + B(Z+1,A) – B(Z,A)
34