Capitolo 3 Modelli nucleari collettivi: il modello a goccia di liquido
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<strong>Capitolo</strong> 3<br />
<strong>Modelli</strong> <strong>nucleari</strong> <strong>collettivi</strong>: <strong>il</strong> <strong>modello</strong> a <strong>goccia</strong> <strong>di</strong> <strong>liquido</strong><br />
3.1 Introduzione<br />
Già nel 1911 Rutherford, per spiegare i risultati del suo esperimento <strong>di</strong> <strong>di</strong>ffusione <strong>di</strong><br />
particelle α da nuclei pesanti ricavò che <strong>il</strong> nucleo è assim<strong>il</strong>ab<strong>il</strong>e ad una sfera <strong>di</strong><br />
raggio ≈ 10 -13 cm. Successivamente <strong>il</strong> raggio dei nuclei fu stimato da una analisi della<br />
relazione empirica tra le vite me<strong>di</strong>e τ degli α-emettitori e l’energia cinetica T α delle<br />
particelle α emesse, che fu trovata essere del tipo:<br />
lnτ + a⋅lnT α = costante<br />
dove <strong>il</strong> parametro a è tale che, come vedremo qunado stu<strong>di</strong>eremo in maggior<br />
dettaglio <strong>il</strong> deca<strong>di</strong>mento alfa, per un piccolo intervallo <strong>di</strong> variab<strong>il</strong>ità <strong>di</strong> T α (tra 4 e 9<br />
MeV) la vita me<strong>di</strong>a varia invece enormemente (tra 10 -7 s e 10 10 y). Fu trovata la<br />
relazione: r = r 0 ⋅A 1/3 , con r 0 ≈ 1.3 fm.<br />
La densità numerica dei nucleoni risulta allora essere:<br />
A 3A 3<br />
n = = = ≈ 10 38 cm -3<br />
3<br />
3<br />
V 4πr0 A 4πr0<br />
e, non <strong>di</strong>pendendo da A, è la stessa per tutti i nuclei.<br />
Anche la densità massica della materia nucleare risulta in<strong>di</strong>pendente da A e<br />
costante per tutti i nuclei:<br />
M Amp<br />
3mp<br />
ρ = ≈ = ≈ 10 14 g⋅cm -3<br />
3<br />
V V 4πr0<br />
Il fatto che la densità sia costante, ci <strong>di</strong>ce che la materia nucleare è<br />
incomprimib<strong>il</strong>e, e questa proprietà in<strong>di</strong>ca una somiglianza tra la materia nucleare ed<br />
un <strong>liquido</strong>. Questa analogia segue anche dalla <strong>di</strong>pendenza quasi lineare esistente tra<br />
l’energia <strong>di</strong> legame <strong>di</strong> un nucleo ed <strong>il</strong> suo numero <strong>di</strong> massa, che può essere<br />
paragonata alla <strong>di</strong>pendenza lineare dell’energia <strong>di</strong> vaporizzazione <strong>di</strong> un <strong>liquido</strong> dalla<br />
sua massa. Inoltre la proprietà <strong>di</strong> saturazione delle forze <strong>nucleari</strong> (che segue dal<br />
fatto che B/A ≈ cost.) rende l’analogia piu completa poichè la stessa proprità è<br />
anche posseduta dalle forze chimiche <strong>di</strong> legame delle molecole in un <strong>liquido</strong>. Su<br />
questa basi Bohr, Wheeler e Frenkel sv<strong>il</strong>upparono <strong>il</strong> <strong>modello</strong> a <strong>goccia</strong> del nucleo, che<br />
portò alla formula semiempirica per l’energia <strong>di</strong> legame ottenuta da Weiszacker.<br />
Questo <strong>modello</strong> fu in grado <strong>di</strong> spiegare un grande numero <strong>di</strong> fenomeni, compresi<br />
alcuni aspetti del deca<strong>di</strong>menti beta, <strong>il</strong> fenomeno della fissione nucleare e le leggi del<br />
deca<strong>di</strong>mento alfa.<br />
3.2 Modello a <strong>goccia</strong> <strong>di</strong> <strong>liquido</strong> (Weiszacher)<br />
Questo <strong>modello</strong> molto semplice è in grado <strong>di</strong> spiegare, me<strong>di</strong>ante pochi parametri<br />
empirici, importanti proprietà dei nuclei. Abbiamo già visto che se riportiamo in<br />
grafico <strong>il</strong> numero dei neutroni N=A-Z contenuti nel nucleo in funzione <strong>di</strong> Z per tutti<br />
i nuclei stab<strong>il</strong>i, si ottiene <strong>il</strong> <strong>di</strong>agramma mostrato in figura3.1<br />
27
Figura 3.1 la rappresentazione dei nuclei stab<strong>il</strong>i nel piano Z-N<br />
Esiste senza dubbio una relazione tra N e Z in quanto i punti rappresentativi<br />
giacciono dentro una piccola regione, quasi una linea nel piano N-Z.<br />
Abbiamo già notato come, in prima approssimazione, l’energia <strong>di</strong> legame per nucleone<br />
sia costante:<br />
B ≈cost → B ∝ A<br />
(3.1)<br />
A<br />
Il fatto che l’energia <strong>di</strong> legame per nucleone non <strong>di</strong>penda da A in<strong>di</strong>ca una importante<br />
proprietà delle forze <strong>nucleari</strong>: esse sono a corto range. Ogni singolo nucleone<br />
all’interno del nucleo interagisce solo con i nucleoni circostanti (quelli “a contatto”)<br />
e non con tutti gli A nucleoni. Questa peculiarità delle forze <strong>nucleari</strong> spiega la salita<br />
iniziale della curva da B/A in funzione <strong>di</strong> A e la zona <strong>di</strong> “plateau” successiva.<br />
Diverso è <strong>il</strong> caso delle forze elettriche, <strong>il</strong> cui range è infinito: l’energia potenziale<br />
elettrica <strong>di</strong> una sfera <strong>di</strong> raggio R contenente una carica Ze uniformemente<br />
<strong>di</strong>stribuita è data da:<br />
R<br />
R q()<br />
r<br />
U = ∫ dU = ∫ V() r dq()<br />
r = ∫ dq()<br />
r<br />
el<br />
el<br />
0<br />
0<br />
r<br />
28
dove: q(r)=ρ el 34<br />
π r 3 e dq(r)= ρ el 4 π r 2 dr<br />
Q<br />
sostituendo, integrando, e notando che ρ<br />
el<br />
= , si ottiene:<br />
4 3<br />
πR<br />
3<br />
2<br />
2 2<br />
3 Q 3 Z e<br />
U = =<br />
(3.2)<br />
el<br />
5 R 5 R<br />
2<br />
dUel 6 Ze<br />
L’energia potenziale per unità <strong>di</strong> carica vale quin<strong>di</strong> = , e aumenta<br />
dZ 5 R<br />
linearmente con Z.<br />
Partendo dalla anlogia con la <strong>goccia</strong> <strong>di</strong> <strong>liquido</strong>, scriviamo una espressione dell’energia<br />
<strong>di</strong> legame del nucleo, riservandoci <strong>di</strong> giustificare in seguito i vari termini che la<br />
compongono:<br />
2<br />
2<br />
2 / 3 Z ( A − 2Z)<br />
B = αA<br />
− βA<br />
− γ − ζ<br />
1 / 3<br />
A A<br />
Analizziamo ora i vari termini:<br />
• αA rappresenta <strong>il</strong> termine <strong>di</strong> volume <strong>di</strong>scendente <strong>di</strong>rettamente dalla relazione<br />
(3.1) precedente.<br />
• βA 2/3 rappresenta <strong>il</strong> termine <strong>di</strong> superficie. Schematizzando <strong>il</strong> nucleo come una<br />
sfera <strong>di</strong> densità uniforme e raggio r=r 0 A 1/3 , si ricava che la superficie esterna del<br />
2 2 3<br />
nucleo vale 4 r A /<br />
π<br />
O<br />
. I nucleoni che stanno sulla superficie, <strong>il</strong> cui numero è<br />
ovviamente proporzionale appunto ad A 2/3 , risultano meno legati <strong>di</strong> quelli che si<br />
trovano immersi nella materia nucleare: da qui deriva <strong>il</strong> segno meno.<br />
2<br />
Z<br />
• γ rappresenta <strong>il</strong> termine coulombiano (3.2) <strong>di</strong> repulsione tra i protoni<br />
1 / 3<br />
A<br />
confinati all’interno del nucleo. Immaginando <strong>il</strong> nucleo come una sfera<br />
uniformemente carica, l’energia potenziale <strong>di</strong> tale <strong>di</strong>stribuzione vale:<br />
2<br />
2 2<br />
3 q 3Z e<br />
U = = e naturalmente va a <strong>di</strong>minuire (ve<strong>di</strong> segno meno) l’energia <strong>di</strong><br />
1 / 3<br />
5 r 5rO<br />
A<br />
legame.<br />
2<br />
( A − 2Z)<br />
• ζ è un termine aggiuntivo, in<strong>di</strong>pendente dalla analogia con la <strong>goccia</strong> <strong>di</strong><br />
A<br />
<strong>liquido</strong>. Esso deriva dalla osservazione sperimentale che nei nuclei Z ed N non sono<br />
in<strong>di</strong>pendenti: anzi, specie per i nuclei leggeri (A
Ve<strong>di</strong>amo ora <strong>di</strong> ricavare i coefficienti da considerazioni approssimate ma semplici.<br />
In realtà la procedura ut<strong>il</strong>izzata è più raffinata ma più complessa, e comunque non<br />
porta a <strong>di</strong>fferenze sostanziali rispetto alla nostra.<br />
Il termine dovuto alla correzione coulombiana si ricava <strong>di</strong>rettamente:<br />
2<br />
3e<br />
γ = = 0 667MeV .<br />
5rO<br />
La <strong>di</strong>pendenza <strong>di</strong> Z = Z(A) per i nuclei stab<strong>il</strong>i risulta essere la seguente:<br />
A<br />
Z = 2 / 3<br />
2 + 0 015A .<br />
(3.3)<br />
d B<br />
Per questo valore <strong>di</strong> Z l’energia <strong>di</strong> legame è massima, e quin<strong>di</strong>: = 0 .<br />
d Z<br />
( A − 2Z)<br />
d B Z<br />
Dalla relazione: = −2γ<br />
+ 4ζ<br />
= 0 si ricava:<br />
1 / 3<br />
d Z A<br />
A<br />
γ −2/3<br />
( A − 2Z)<br />
= 2A<br />
.<br />
ς<br />
Z<br />
2/ 3<br />
Se eliminiamo Z tramite la (3.3), notando che ( A − 2Z) = 0.015 ⋅ Z ⋅ A , sparisce<br />
anche la <strong>di</strong>pendenza da A e si ricava:<br />
γ =0.03 e quin<strong>di</strong>, noto γ , si trova: ζ= 22.2 MeV<br />
ζ<br />
La curva B = f( A)<br />
deve avere <strong>il</strong> massimo ad A=60. Dalla relazione:<br />
A<br />
2<br />
2<br />
d ⎛ B ⎞<br />
B<br />
−1<br />
/ 3 Z ( A − 2Z)<br />
⎜ ⎟ = 0 con: = α − βA<br />
− γ − ζ , si ottiene:<br />
4 / 3<br />
2<br />
dA ⎝ A ⎠ A=<br />
60<br />
A<br />
A A<br />
60<br />
β = γ e quin<strong>di</strong> β = 16 MeV.<br />
25<br />
B<br />
Imponendo infine, sempre da osservazioni sperimentali, che =8.8 MeV per A=60 e<br />
A<br />
Z=28 si ricava α = 15.2 MeV. Finalmente:<br />
( A 2Z)<br />
2<br />
2<br />
2 / 3 0 667 . ⋅Z<br />
−<br />
B = 15 2A . − 16 0A . − − 22 2 .<br />
1 / 3<br />
A<br />
A<br />
• Vi è un ultimo termine, anche questo in<strong>di</strong>pendente dalla analogia con la <strong>goccia</strong> <strong>di</strong><br />
<strong>liquido</strong>. I nuclei possono essere <strong>di</strong>visi in tre gruppi per quanto riguarda la loro<br />
stab<strong>il</strong>ità. Il primo gruppo contiene i nuclei più stab<strong>il</strong>i, quelli con Z ed N entrambi<br />
pari (per questo detti “pari-pari”), mentre <strong>il</strong> secondo gruppo contiene i nuclei meno<br />
stab<strong>il</strong>i “pari-<strong>di</strong>spari” e “<strong>di</strong>spari-pari”, aventi A <strong>di</strong>spari. Infine <strong>il</strong> terzo gruppo<br />
contiene i nuclei “<strong>di</strong>spari-<strong>di</strong>spari” che <strong>di</strong> regola sono instab<strong>il</strong>i (i nuclei <strong>di</strong>spari-<strong>di</strong>spari<br />
stab<strong>il</strong>i sono solo quattro: 2 H, 6 Li, 10 B, 14 N). Per questo motivo, un cambio <strong>di</strong> un’unità<br />
nella carica nucleare Z ad A fissato trasforma un nucleo pari-pari in uno <strong>di</strong>spari<strong>di</strong>spari<br />
(o viceversa), e fa quin<strong>di</strong> variare bruscamente l’energia <strong>di</strong> legame. Questo<br />
effetto non è ovviamente spiegab<strong>il</strong>e con una analogia idrostatica e si deve<br />
introdurre un ulteriore termine “ad hoc”: esso è espresso come δA -3/4 .<br />
30
La formula completa per l’energia <strong>di</strong> legame B risulta allora:<br />
2<br />
( A − 2Z) 3 4<br />
2<br />
2 / 3 Z<br />
− /<br />
B = αA<br />
− βA<br />
− γ − ζ + δA<br />
1 / 3<br />
A A<br />
<strong>il</strong> valore <strong>di</strong> δ, dedotto ancora una volta da un confronto sperimentale, è dato dalla<br />
seguente espressione:<br />
⎧ + 34 pari − pari ⎫<br />
⎪<br />
⎪<br />
δ = ⎨ 0 A <strong>di</strong>spari ⎬<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎩−<br />
34 <strong>di</strong>spari − <strong>di</strong>spari⎭<br />
Dalla formula che fornisce <strong>il</strong> valore dell’energia <strong>di</strong> legame B, si ricava<br />
imme<strong>di</strong>atamente la formula <strong>di</strong> B/A:<br />
2<br />
( A − 2Z) 7 4<br />
B 2<br />
−1<br />
/ 3 Z<br />
−<br />
= α − βA<br />
− γ − ζ + δA<br />
/<br />
4 / 3<br />
2<br />
A<br />
A A<br />
Noto B, possiamo ricavare <strong>il</strong> valore della massa nucleare M(Z,A) = Zm p + (A-Z)m n –<br />
B. Essa vale:<br />
2<br />
( A − 2Z) 3 4<br />
2<br />
2 / 3 Z<br />
− /<br />
M( Z,<br />
A) = Zmp<br />
+ ( A − Z)<br />
mn<br />
− αA<br />
+ βA<br />
+ γ + ζ − δA<br />
1 / 3<br />
A A<br />
Calcoli più raffinati forniscono i seguenti valori numerici per le costanti della<br />
formula:<br />
costante valore (MeV)<br />
α 15.75<br />
β 17.8<br />
γ 0.71<br />
δ 0, ±34<br />
ζ 23.7<br />
3.3 Applicazioni del <strong>modello</strong> a <strong>goccia</strong><br />
Ut<strong>il</strong>izzando i coefficienti in tabella è possib<strong>il</strong>e calcolare, noti Z ed A, l’energia <strong>di</strong><br />
legame <strong>di</strong> qualsiasi nucleo con un errore relativo dell’or<strong>di</strong>ne del percento. Il calcolo<br />
della massa è sorprendentemente preciso, con un errore <strong>di</strong> 10 -4 . Il <strong>modello</strong> a <strong>goccia</strong><br />
permette <strong>di</strong> calcolare l’energia <strong>di</strong> separazione <strong>di</strong> un protone (ε p ), <strong>di</strong> un neutrone (ε n ),<br />
o <strong>di</strong> una particella alfa (ε α ), ossia la minima energia che si deve fornire ad un nucleo<br />
per strappare un protone, un neutrone o una particella alfa.<br />
M(Z,A)+ ε p = m(Z-1,A) + m p<br />
Da cui: ε p = m(Z-1,A) + m p – m(Z,A) = B(Z,A) – B(Z-1,A-1)<br />
Analogamente:<br />
ε n = B(Z,A) – B(Z,A-1)<br />
ε α = B(Z,A) – B(Z-2,A-4) – B( 4 He)<br />
31
Il <strong>modello</strong> a <strong>goccia</strong> è anche usato per derivare una con<strong>di</strong>zione che lega A e Z per<br />
tutti i nuclei stab<strong>il</strong>i rispetto al deca<strong>di</strong>mento beta. La formula che fornisce la massa<br />
<strong>di</strong> un nucleo:<br />
2<br />
( A − 2Z) 3 4<br />
2<br />
2 / 3 Z<br />
− /<br />
M( Z,<br />
A) = Zmp<br />
+ ( A − Z)<br />
mn<br />
− αA<br />
+ βA<br />
+ γ + ζ − δA<br />
1 / 3<br />
A A<br />
presenta una <strong>di</strong>pendenza <strong>di</strong> tipo parabolico (ve<strong>di</strong> figura 3.2) della massa nucleare da<br />
Z, ad A fissato.<br />
Fig 3.2 <strong>di</strong>pendenza della massa nucleare da Z per nuclei ad A <strong>di</strong>spari<br />
Abbiamo già detto che <strong>il</strong> nucleo più stab<strong>il</strong>e ha un maggior <strong>di</strong>fetto <strong>di</strong> massa e quin<strong>di</strong><br />
massa più piccola. Pertanto <strong>il</strong> valore Z 0 che corrisponde a questo nucleo può essere<br />
determinato trovando <strong>il</strong> minimo della cirva. Differenziando rispetto a Z<br />
l’espressione della massa ed uguagliando a zero:<br />
dm − 1 / 2ς<br />
A<br />
m m 2 ZA<br />
3 ⎛ ⎞<br />
=<br />
p<br />
−<br />
n<br />
+ γ − ⎜ − Z⎟<br />
= 0<br />
dZ<br />
A ⎝ 2 ⎠<br />
da cui si ricava: = A<br />
Z ( mp<br />
− m + ς)<br />
2 / 3<br />
2ς<br />
+ 2γA<br />
n<br />
A<br />
che, sostituendo i valori numerici, <strong>di</strong>viene: Z =<br />
2 / 3<br />
1 97 . + 0 015A .<br />
Se si usa questa espressione per calcolare Z 0 per gli isobari stab<strong>il</strong>i per deca<strong>di</strong>mento<br />
beta e si confronta con i valori sperimentali, si trova un ottimo accordo: Z 0<br />
<strong>di</strong>fferisce al più <strong>di</strong> ±1 dal valore sperimentale. Abbiamo visto che se A è <strong>di</strong>spari, <strong>il</strong><br />
termine δ della formula della massa vale zero, e la funzione m(Z) assume valori<br />
32
singoli. Fissato A, esiste quin<strong>di</strong> un unico valore <strong>di</strong> Z 0 che corrisponde ad un isobaro<br />
stab<strong>il</strong>e (ve<strong>di</strong> fig. 3.2) Il nucleo con Z=Z 0 +1 decade β + nel nucleo Z 0 , mentre <strong>il</strong> nucleo<br />
con Z=Z 0 -1 decade β - nel nucleo Z 0 . La situazione è la stessa per i nuclei (A,Z 0 ±2)<br />
che decadono β ± nei nuclei (A,Z 0 m1). Se però A è pari la funzione m(Z) assume due<br />
valori <strong>di</strong>versi perchè δ = ±34 a seconda che <strong>il</strong> nucleo sia <strong>di</strong>spari-<strong>di</strong>spari (+34) o paripari<br />
(-34)<br />
Fig 3.3 <strong>di</strong>pendenza della massa nucleare da Z per nuclei ad A pari<br />
La parabola inferiore corrisponde ai nuclei con Z pari, mentre la parabola superiore<br />
a nuclei (meno stab<strong>il</strong>i) con Z <strong>di</strong>spari. La figura 3.3 a) mostra che, poichè due nuclei<br />
contigui sulla stessa parabola <strong>di</strong>fferiscono <strong>di</strong> due unità in Z, possono esistere fino a<br />
tre isobari stab<strong>il</strong>i per i nuclei pari-pari. Infatti una transizione del nucleo con una<br />
carica Z 0 ±2 in un nucleo con carica Z 0 ±1 non è energeticamente possib<strong>il</strong>e, e una<br />
transizione <strong>di</strong>tretta da Z 0 ±2 a Z 0 tramite un doppio deca<strong>di</strong>mento beta è<br />
estremamente improbab<strong>il</strong>e. Viceversa, poichè ciascun nucleo nella parabola<br />
superiore ha un corrispondente nucleo nella parabola inferiore che <strong>di</strong>fferisce per ±1<br />
in numero atomico, tutti i nuclei <strong>di</strong>spari-<strong>di</strong>spari devono essere instab<strong>il</strong>i, ed in<br />
effetti le uniche eccezioni sono rappresentate da: 2 H, 6 Li, 10 B, 14 N. In questi casi i<br />
nuclei isobari sono arrangiati come in figura 3.3 b). Ovviamente in questo caso gli<br />
33
isobari pari-pari devono essere instab<strong>il</strong>i. Per esempio i nuclei 14 C e 14 O si trovano al<br />
<strong>di</strong> sopra del nucleo stab<strong>il</strong>e 14 N (fig. 3.4)<br />
Fig. 3.4 <strong>di</strong>sposizione relativa dei nuclei 14 C, 14 O e 14 N sul piano m-Z<br />
Il <strong>modello</strong> a <strong>goccia</strong> può ovviamente essere anche usato per calcolare l’energia del<br />
deca<strong>di</strong>mento beta: E βmax = m(Z,A) – m(Z+1,A). Per l’energia cinetica delle particelle<br />
beta emesse:<br />
T βmax = E βmax - m e = m(Z,A) – m(Z+1,A) – m e = m n – m p – m e + B(Z+1,A) – B(Z,A)<br />
34